Степени и корни — задание №7 ЕГЭ по математике

Показатели степеней велики, но огромные числа считать не нужно: сначала объединим степени по правилам. При возведении степени в степень показатели перемножаются. $$9\cdot3=27$$ $$(64^9)^3=64^{27}$$ $$5\cdot8=40$$ $$(16^5)^8=16^{40}$$ Теперь запишем основания как степени двойки: $$64=2^6,\qquad16=2^4$$ Ещё раз применим правило степени степени: $$64^{27}=(2^6)^{27}=2^{6\cdot27}=2^{162}$$ $$16^{40}=(2^4)^{40}=2^{4\cdot40}=2^{160}$$ При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$\frac{2^{162}}{2^{160}}=2^{162-160}=2^2$$ $$2^2=2\cdot2=4$$ Ответ: $4$.

Основания 5 и 25 связаны: 25 — квадрат 5. Это позволяет привести все степени к одному основанию: $$25=5^2$$ При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$25^{0{,}97}=(5^2)^{0{,}97}=5^{2\cdot0{,}97}$$ $$2\cdot0{,}97=1{,}94$$ При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$5^{0{,}06}\cdot5^{1{,}94}=5^{0{,}06+1{,}94}$$ $$0{,}06+1{,}94=2$$ $$5^2=5\cdot5=25$$ Ответ: $25$.

В основании 14 есть множители 2 и 7. Разложим его, чтобы объединить степени с одинаковыми основаниями: $$14=2\cdot7$$ Степень произведения равна произведению степеней множителей: $$14^{6{,}4}=2^{6{,}4}\cdot7^{6{,}4}$$ Подставим это в исходное выражение и сгруппируем степени двойки и семёрки: $$E=\frac{2^{6{,}4}}{2^{4{,}4}}\cdot7^{6{,}4}\cdot7^{-5{,}4}$$ При делении показатели вычитаются, при умножении — складываются: $$6{,}4-4{,}4=2$$ $$6{,}4+(-5{,}4)=6{,}4-5{,}4=1$$ $$E=2^2\cdot7^1$$ $$2^2=2\cdot2=4$$ $$4\cdot7=28$$ Ответ: $28$.

У всех корней одинаковый показатель. Все подкоренные числа положительны, а знаменатель не равен нулю. Поэтому произведение и частное корней можно объединить под одним корнем: $$\frac{\sqrt[4]{8}\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{24}}=\sqrt[4]{\frac{8\cdot48}{24}}$$ Вычислим подкоренное выражение. Сначала сократим деление, затем выполним умножение: $$8/24=\frac{1}{3}$$ $$\frac{1}{3}\cdot48=16$$ Нужно извлечь корень указанной степени: найти неотрицательное число, которое при возведении в эту степень даёт подкоренное число. $$2^{4}=2\cdot2\cdot2\cdot2=16$$ $$\sqrt[4]{16}=2$$ Ответ: $2$.

Сначала найдём показатель степени числителя. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$15\cdot5=75$$ $$(4^{15})^{5}=4^{75}$$ Теперь основания числителя и знаменателя одинаковы. При делении таких степеней показатели вычитаются: $$75-73=2$$ $$\frac{4^{75}}{4^{73}}=4^{2}$$ Оставшаяся степень небольшая; вычислим её как произведение: $$4^{2}=4\cdot4=16$$ Ответ: $16$.

У всех корней одинаковый показатель. Все подкоренные числа положительны, а знаменатель не равен нулю. Поэтому произведение и частное корней можно объединить под одним корнем: $$\frac{\sqrt[3]{400}\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{80}}=\sqrt[3]{\frac{400\cdot25}{80}}$$ Вычислим подкоренное выражение. Сначала сократим деление, затем выполним умножение: $$400/80=5$$ $$5\cdot25=125$$ Нужно извлечь корень указанной степени: найти неотрицательное число, которое при возведении в эту степень даёт подкоренное число. $$5^{3}=5\cdot5\cdot5=125$$ $$\sqrt[3]{125}=5$$ Ответ: $5$.

Чтобы разделить степени, приведём их основания к одному числу. В этой задаче удобно основание $3$. $$3=3^{1},\qquad9=3^{2}$$ Для каждого основания применяем правило степени степени: перемножаем показатели. $$1\cdot9{,}2=9{,}2$$ $$2\cdot2{,}6=5{,}2$$ Теперь в числителе и знаменателе степени одного основания. Вычтем показатель знаменателя из показателя числителя: $$9{,}2-5{,}2=4$$ $$\frac{3^{9{,}2}}{3^{5{,}2}}=3^{4}$$ Вычислим оставшуюся степень: $$3^{4}=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$$ Ответ: $81$.

Все корни имеют одно и то же положительное подкоренное число. Представим их дробными степенями: корень степени n означает показатель 1/n. $$\sqrt[3]{36}=36^{1/3}$$ $$\sqrt[5]{36}=36^{1/5}$$ $$\sqrt[30]{36}=36^{1/30}$$ При умножении степеней показатели складываем, при делении — вычитаем: $$E=36^{1/3+1/5-1/30}$$ Приведём показатели к общему знаменателю $30$: $$\frac1{3}=\frac{10}{30},\quad\frac1{5}=\frac{6}{30},\quad\frac1{30}=\frac{1}{30}$$ $$\frac{10+6-1}{30}=\frac{15}{30}=\frac12$$ Степень 1/2 — квадратный корень: $$E=36^{1/2}=\sqrt{36}=6$$ $$6^2=36$$ Ответ: $6$.

Все корни имеют одно и то же положительное подкоренное число. Представим их дробными степенями: корень степени n означает показатель 1/n. $$\sqrt[3]{121}=121^{1/3}$$ $$\sqrt[4]{121}=121^{1/4}$$ $$\sqrt[12]{121}=121^{1/12}$$ При умножении степеней показатели складываем, при делении — вычитаем: $$E=121^{1/3+1/4-1/12}$$ Приведём показатели к общему знаменателю $12$: $$\frac1{3}=\frac{4}{12},\quad\frac1{4}=\frac{3}{12},\quad\frac1{12}=\frac{1}{12}$$ $$\frac{4+3-1}{12}=\frac{6}{12}=\frac12$$ Степень 1/2 — квадратный корень: $$E=121^{1/2}=\sqrt{121}=11$$ $$11^2=121$$ Ответ: $11$.

В числителе в квадрат возводится произведение числа и корня. Квадрат произведения равен произведению квадратов; скобка относится ко всему произведению: $$(5\sqrt{6})^2=5^2\cdot(\sqrt{6})^2$$ Вычислим оба квадрата отдельно: $$5^2=5\cdot5=25$$ $$(\sqrt{6})^2=6$$ Умножим найденные значения — это числитель дроби: $$25\cdot6=150$$ Разделим числитель на знаменатель исходного выражения: $$\frac{150}{10}=15$$ Ответ: $15$.

Сначала упростим каждый корень: выделим под ним множитель, который является полным квадратом. $$96=16\cdot6,\qquad24=4\cdot6$$ Для неотрицательных множителей корень из произведения равен произведению корней: $$\sqrt{96}=\sqrt{16}\sqrt6=4\sqrt6$$ $$\sqrt{24}=\sqrt4\sqrt6=2\sqrt6$$ Подставим эти выражения в скобку. Одинаковый корень вынесем общим множителем: $$(4\sqrt6-2\sqrt6)\sqrt6=(4-2)\sqrt6\sqrt6$$ Теперь отдельно вычислим разность коэффициентов и произведение одинаковых корней: $$4-2=2$$ $$\sqrt6\sqrt6=(\sqrt6)^2=6$$ $$2\cdot6=12$$ Ответ: $12$.

Сначала найдём показатель степени числителя. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$16\cdot5=80$$ $$(2^{16})^{5}=2^{80}$$ Теперь основания числителя и знаменателя одинаковы. При делении таких степеней показатели вычитаются: $$80-74=6$$ $$\frac{2^{80}}{2^{74}}=2^{6}$$ Оставшаяся степень небольшая; вычислим её как произведение: $$2^{6}=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=64$$ Ответ: $64$.

Приведём основания к 2: тогда произведение можно будет вычислить сложением показателей. $$4=2^2,\qquad16=2^4$$ В степени степени показатели перемножаются: $$4^{1/5}=(2^2)^{1/5}=2^{2/5}$$ $$16^{9/10}=(2^4)^{9/10}=2^{36/10}=2^{18/5}$$ При умножении степеней одного основания сложим показатели. Знаменатели уже одинаковы: $$\frac25+\frac{18}{5}=\frac{2+18}{5}=\frac{20}{5}=4$$ $$2^{2/5}\cdot2^{18/5}=2^4$$ $$2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16$$ Ответ: $16$.

Чтобы разделить степени, приведём их основания к одному числу. В этой задаче удобно основание $3$. $$81=3^{4},\qquad9=3^{2}$$ Для каждого основания применяем правило степени степени: перемножаем показатели. $$4\cdot2{,}6=10{,}4$$ $$2\cdot3{,}7=7{,}4$$ Теперь в числителе и знаменателе степени одного основания. Вычтем показатель знаменателя из показателя числителя: $$10{,}4-7{,}4=3$$ $$\frac{3^{10{,}4}}{3^{7{,}4}}=3^{3}$$ Вычислим оставшуюся степень: $$3^{3}=3\cdot3\cdot3=27$$ Ответ: $27$.

В числителе в квадрат возводится произведение числа и корня. Квадрат произведения равен произведению квадратов; скобка относится ко всему произведению: $$(3\sqrt{8})^2=3^2\cdot(\sqrt{8})^2$$ Вычислим оба квадрата отдельно: $$3^2=3\cdot3=9$$ $$(\sqrt{8})^2=8$$ Умножим найденные значения — это числитель дроби: $$9\cdot8=72$$ Разделим числитель на знаменатель исходного выражения: $$\frac{72}{6}=12$$ Ответ: $12$.