Найдите значение выражения $\frac{\sqrt[3]{36}\cdot \sqrt[5]{36}}{\sqrt[30]{36}}$.
Ответ: $6$.
Решение
Все корни имеют одно и то же положительное подкоренное число. Представим их дробными степенями: корень степени n означает показатель 1/n.
$$\sqrt[3]{36}=36^{1/3}$$
$$\sqrt[5]{36}=36^{1/5}$$
$$\sqrt[30]{36}=36^{1/30}$$
При умножении степеней показатели складываем, при делении — вычитаем:
$$E=36^{1/3+1/5-1/30}$$
Приведём показатели к общему знаменателю $30$:
$$\frac1{3}=\frac{10}{30},\quad\frac1{5}=\frac{6}{30},\quad\frac1{30}=\frac{1}{30}$$
$$\frac{10+6-1}{30}=\frac{15}{30}=\frac12$$
Степень 1/2 — квадратный корень:
$$E=36^{1/2}=\sqrt{36}=6$$
$$6^2=36$$
Ответ: $6$.