ФИПИ 11A20A — Тригонометрические выражения

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{7\pi}{8}$. Используем тождество: $$2\sin t\cos t=\sin2t$$ Разделим обе части формулы на 2, чтобы выразить именно произведение: $$\sin t\cos t=\frac{\sin2t}{2}$$ Поэтому исходное выражение принимает вид: $$E=\sqrt{2}\cdot\frac{\sin2t}{2}$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot7\pi}{8}=\frac{14\pi}{8}=\frac{7\pi}{4}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{7\pi}{4}=2\pi-\frac\pi4$$ Это угол четвёртой четверти. Синус там отрицателен; после вычитания полного оборота используем нечётность синуса. $$\sin(\frac{7\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Подставим табличное значение. Множители 2 в знаменателях перемножаются: $$E=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Квадратный корень, умноженный сам на себя, даёт подкоренное число. Поэтому: $$E=\frac{-1\cdot2}{4}=\frac{-2}{4}=-0{,}5$$ Ответ: $-0{,}5$.