ФИПИ 0DC0A0 — Тригонометрические выражения

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{15\pi}{8}$. Используем тождество: $$1-2\sin^2t=\cos2t$$ Вынесем общий множитель: он умножал каждое слагаемое. Затем заменим оставшуюся скобку по указанному тождеству: $$E=\sqrt{2}(1-2\sin^2t)=\sqrt{2}\cos2t$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot15\pi}{8}=\frac{30\pi}{8}=\frac{15\pi}{4}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{15\pi}{4}=4\pi-\frac\pi4$$ Добавление или вычитание полного оборота не меняет косинус, а косинус противоположных углов одинаков. Так получаем положительное табличное значение. $$\cos(\frac{15\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Подставим найденный косинус: $$E=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Умножение одинаковых квадратных корней даёт подкоренное число: $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$$ Осталось выполнить обычные действия с числовыми коэффициентами: $$E=\frac{1\cdot2}{2}=\frac{2}{2}=1$$ Ответ: $1$.