Найдите значение выражения $\frac{3\sin 68^{\circ}}{\cos 34^{\circ}\cdot \cos 56^{\circ}}$.
Ответ: $6$
Решение
В выражении есть угол, который вдвое больше одного из углов знаменателя. Это подсказывает формулу синуса двойного угла: она создаст в числителе те же множители, что стоят в знаменателе.
$$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$
Проверим удвоение данного угла:
$$2\cdot34^\circ=68^\circ$$
$$\sin68^\circ=2\sin34^\circ\cos34^\circ$$
Два угла знаменателя в сумме дают прямой угол:
$$34^\circ+56^\circ=90^\circ$$
Используем формулу для дополняющих углов: $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$.
$$\cos56^\circ=\\sin34^\circ$$
Подставим обе замены в исходную дробь. В числителе и знаменателе окажутся одинаковые синус и косинус:
$$\frac{3\cdot2\sin34^\circ\cos34^\circ}{\sin34^\circ\cos34^\circ}$$
Угол $34^\circ$ острый: его синус и косинус положительны, а потому не равны нулю. Можно сократить оба этих множителя.
$$3\cdot2=6$$
Ответ: $6$.