Найдите значение выражения $\frac{2\sin 70^{\circ}}{\cos 35^{\circ}\cdot \cos 55^{\circ}}.$
Ответ: $4$.
Решение
В выражении есть угол, который вдвое больше одного из углов знаменателя. Это подсказывает формулу синуса двойного угла: она создаст в числителе те же множители, что стоят в знаменателе.
$$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$
Проверим удвоение данного угла:
$$2\cdot35^\circ=70^\circ$$
$$\sin70^\circ=2\sin35^\circ\cos35^\circ$$
Два угла знаменателя в сумме дают прямой угол:
$$35^\circ+55^\circ=90^\circ$$
Используем формулу для дополняющих углов: $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$.
$$\cos55^\circ=\\sin35^\circ$$
Подставим обе замены в исходную дробь. В числителе и знаменателе окажутся одинаковые синус и косинус:
$$\frac{2\cdot2\sin35^\circ\cos35^\circ}{\sin35^\circ\cos35^\circ}$$
Угол $35^\circ$ острый: его синус и косинус положительны, а потому не равны нулю. Можно сократить оба этих множителя.
$$2\cdot2=4$$
Ответ: $4$.