ФИПИ c1228A — Тригонометрические выражения

Известен косинус угла, а найти нужно тангенс. Сначала получим квадрат тангенса из основного тригонометрического тождества: $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ Данный косинус не равен нулю. Разделим каждое слагаемое на его квадрат: $$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac1{\cos^2\alpha}$$ По определению тангенс равен синусу, делённому на косинус. Поэтому: $$\tan^2\alpha+1=\frac1{\cos^2\alpha}$$ $$\tan^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}-1$$ Теперь вычислим квадрат данного косинуса. При возведении дроби в квадрат отдельно возводятся числитель и знаменатель: $$\cos^2\alpha=\frac{5^2\cdot(\sqrt{26})^2}{26^2}=\frac{25\cdot26}{676}=\frac{25}{26}$$ Подставляем в формулу; обратная величина дроби получается перестановкой её числителя и знаменателя: $$\tan^2\alpha=\frac{26}{25}-1=\frac{26-25}{25}=\frac{1}{25}$$ Квадрат числа не определяет его знак. Возможны два значения: $$\tan\alpha=\pm\sqrt{\frac{1}{25}}=\pm\frac{1}{5}$$ По условию угол в первой четверти: синус и косинус положительны. Их отношение положительно, поэтому выбираем положительное значение. $$\tan\alpha=0{,}2$$ Ответ: $0{,}2$.