Найдите значение выражения $\frac{{\log }_{7}32}{{\log }_{7}2}.$
Ответ: $5$.
Решение
В числителе и знаменателе логарифмы с одним основанием. Выразим 32 как степень аргумента знаменателя. Последовательно умножим двойку на себя:
$$2^{2}=2\cdot2=4$$
$$2^{3}=4\cdot2=8$$
$$2^{4}=8\cdot2=16$$
$$2^{5}=16\cdot2=32$$
$$32=2^5$$
Используем правило: показатель степени аргумента можно вынести множителем перед логарифмом:
$$\log_7(2^5)=5\log_72$$
Подставим это выражение в числитель:
$$\frac{\log_732}{\log_72}=\frac{5\log_72}{\log_72}$$
Логарифм числа 2 не равен нулю: нулю равен логарифм только единицы. Поэтому можем сократить одинаковые множители:
$$\frac{5\log_72}{\log_72}=5$$
Ответ: $5$.