Найдите значение выражения $\frac{{\log }_{6}17}{{\log }_{36}17}.$
Ответ: $2$.
Решение
Нужно сравнить два логарифма одного числа при разных основаниях. Заметим, что одно основание — квадрат другого:
$$36=6^2$$
Обозначим знаменатель через t. По определению логарифма:
$$t=\log_{36}17$$
$$36^t=17$$
Заменим 36 квадратом 6 и перемножим показатели:
$$(6^2)^t=6^{2t}=17$$
Это равенство означает, что логарифм 17 по основанию 6 равен 2t:
$$\log_617=2t$$
В исходной дроби числитель равен 2t, знаменатель — t. Причём t не равен нулю, поскольку аргумент 17 не равен 1. Сокращаем:
$$\frac{2t}{t}=2$$
Ответ: $2$.