а) Решите уравнение
$\cos 2x+\cos (-x)=0.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- \frac{7\pi }{2}; - 2\pi ].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\pm\pi/3+2\pi k$ или $x=\pi+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$; б) $-3\pi$, $-7\pi/3$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. На единичной окружности углы $x$ и $-x$ симметричны относительно горизонтальной оси: горизонтальная координата сохраняется, вертикальная меняет знак. Поэтому $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Заменим косинус отрицательного аргумента и двойного угла:
$$
2\cos^2x-1+\cos x=0;\qquad2\cos^2x+\cos x-1=0.
$$
Обозначим $t=\cos x$, обязательно $-1\le t\le1$:
$$
2t^2+t-1=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=2$, $B=1$, $C=-1$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(1)^2-4\cdot(2)\cdot(-1)=1+8=9.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{9}=3,\qquad 3^2=3\cdot3=9.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-1+3}{4}=\frac24=\frac12;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-1-3}{4}=\frac{-4}{4}=-1.
$$
Оба значения лежат между −1 и 1. Возвращаемся к косинусу:
$$
\cos x=\frac12\quad\text{или}\quad\cos x=-1.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\cos x=\frac12$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Координата по горизонтали равна $-1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$.
$$
x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$.
$$
-\frac{7\pi}{2}\le \frac{\pi}{3}+2\pi n\le -2\pi;\qquad -\frac{7}{2}\le \frac{1}{3}+2n\le -2.
$$
$$
-\frac{7}{2}-(\frac{1}{3})\le 2n\le -2-(\frac{1}{3});\qquad -\frac{23}{12}\le n\le -\frac{7}{6}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.
Серия 2: $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$.
$$
-\frac{7\pi}{2}\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n\le -2\pi;\qquad -\frac{7}{2}\le -\frac{1}{3}+2n\le -2.
$$
$$
-\frac{7}{2}-(-\frac{1}{3})\le 2n\le -2-(-\frac{1}{3});\qquad -\frac{19}{12}\le n\le -\frac{5}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-1$. Подставим каждое:
$$
n=-1:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot(-1)=-\frac{7\pi}{3}.
$$
Серия 3: $x=\pi+2\pi n$.
$$
-\frac{7\pi}{2}\le \pi+2\pi n\le -2\pi;\qquad -\frac{7}{2}\le 1+2n\le -2.
$$
$$
-\frac{7}{2}-(1)\le 2n\le -2-(1);\qquad -\frac{9}{4}\le n\le -\frac{3}{2}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-2$. Подставим каждое:
$$
n=-2:\qquad x=\pi+2\pi\cdot(-2)=-3\pi.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-3\pi,\quad -\frac{7\pi}{3}.
$$