а) Решите уравнение
$2\sin (x+\frac{\pi }{3})+\cos 2x=\sqrt{3}\cos x+1$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- 3\pi ; - \frac{3\pi }{2}]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\pi n$, $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $-3\pi$, $-2\pi$, $-\frac{11\pi}{6}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Подставим $\cos(\pi/3)=1/2$, $\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$:
$$
2\sin(x+\pi/3)=2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=\sin x+\sqrt3\cos x.
$$
Заменим левую часть и вычтем одинаковое слагаемое $\sqrt3\cos x$ из обеих частей:
$$
\sin x+\sqrt3\cos x+\cos2x=\sqrt3\cos x+1;\qquad\sin x+\cos2x=1.
$$
Теперь используем двойной угол через синус и вычтем 1:
$$
\sin x+1-2\sin^2x=1;\qquad\sin x-2\sin^2x=0;\qquad\sin x(1-2\sin x)=0.
$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай.
$$
\sin x=0\quad\text{или}\quad1-2\sin x=0;\qquad\sin x=\frac12.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Синус равен нулю на горизонтальной оси окружности: углы 0 и $\pi$, затем они повторяются через $\pi$.
$$
x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\sin x=\frac12$ нужна вертикальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\pi n$.
$$
-3\pi\le \pi n\le -\frac{3\pi}{2};\qquad -3\le 0+1n\le -\frac{3}{2}.
$$
$$
-3-(0)\le 1n\le -\frac{3}{2}-(0);\qquad -3\le n\le -\frac{3}{2}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-3,-2$. Подставим каждое:
$$
n=-3:\qquad x=0+\pi\cdot(-3)=-3\pi.
$$
$$
n=-2:\qquad x=0+\pi\cdot(-2)=-2\pi.
$$
Серия 2: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
-3\pi\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le -\frac{3\pi}{2};\qquad -3\le \frac{1}{6}+2n\le -\frac{3}{2}.
$$
$$
-3-(\frac{1}{6})\le 2n\le -\frac{3}{2}-(\frac{1}{6});\qquad -\frac{19}{12}\le n\le -\frac{5}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-1$. Подставим каждое:
$$
n=-1:\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(-1)=-\frac{11\pi}{6}.
$$
Серия 3: $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
$$
-3\pi\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n\le -\frac{3\pi}{2};\qquad -3\le \frac{5}{6}+2n\le -\frac{3}{2}.
$$
$$
-3-(\frac{5}{6})\le 2n\le -\frac{3}{2}-(\frac{5}{6});\qquad -\frac{23}{12}\le n\le -\frac{7}{6}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-3\pi,\quad -2\pi,\quad -\frac{11\pi}{6}.
$$