а) Решите уравнение
$\cos 2x+\sqrt{2}\cos (x+\pi )+1=0.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- 4\pi ; -\frac{5\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac\pi2+\pi n$ или $x=\pm\frac\pi4+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $-\frac{15\pi}{4}$, $-\frac{7\pi}{2}$, $-\frac{5\pi}{2}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Косинус полуоборота равен −1, синус — 0:
$$
\cos(x+\pi)=\cos x\cdot(-1)-\sin x\cdot0=-\cos x.
$$
Подставим формулы, сократим единицы и вынесем косинус:
$$
2\cos^2x-1-\sqrt2\cos x+1=0;\qquad2\cos^2x-\sqrt2\cos x=0;\qquad\cos x(2\cos x-\sqrt2)=0.
$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай.
$$
\cos x=0\quad\text{или}\quad2\cos x=\sqrt2;\qquad\cos x=\frac{\sqrt2}{2}.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: первый угол $\pi/2$, а соседний отличается на $\pi$.
$$
x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{2}+\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$.
$$
-4\pi\le \frac{\pi}{2}+\pi n\le -\frac{5\pi}{2};\qquad -4\le \frac{1}{2}+1n\le -\frac{5}{2}.
$$
$$
-4-(\frac{1}{2})\le 1n\le -\frac{5}{2}-(\frac{1}{2});\qquad -\frac{9}{2}\le n\le -3.
$$
Подходящие целые значения: $n=-4,-3$. Подставим каждое:
$$
n=-4:\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot(-4)=-\frac{7\pi}{2}.
$$
$$
n=-3:\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot(-3)=-\frac{5\pi}{2}.
$$
Серия 2: $x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
-4\pi\le \frac{\pi}{4}+2\pi n\le -\frac{5\pi}{2};\qquad -4\le \frac{1}{4}+2n\le -\frac{5}{2}.
$$
$$
-4-(\frac{1}{4})\le 2n\le -\frac{5}{2}-(\frac{1}{4});\qquad -\frac{17}{8}\le n\le -\frac{11}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-2$. Подставим каждое:
$$
n=-2:\qquad x=\frac{\pi}{4}+2\pi\cdot(-2)=-\frac{15\pi}{4}.
$$
Серия 3: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
-4\pi\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n\le -\frac{5\pi}{2};\qquad -4\le -\frac{1}{4}+2n\le -\frac{5}{2}.
$$
$$
-4-(-\frac{1}{4})\le 2n\le -\frac{5}{2}-(-\frac{1}{4});\qquad -\frac{15}{8}\le n\le -\frac{9}{8}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-\frac{15\pi}{4},\quad -\frac{7\pi}{2},\quad -\frac{5\pi}{2}.
$$