а) Решите уравнение $4\cos (x+\frac{\pi }{4})+2\sqrt{2}\cos (\pi -x)=2.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{17\pi }{2}; 10\pi ].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=-\frac\pi4+2\pi n$ или $x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $\frac{37\pi}{4}$, $\frac{39\pi}{4}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Подставим значения синуса и косинуса $\pi/4$:
$$
4\cos(x+\pi/4)=4\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos x-\frac{\sqrt2}{2}\sin x\right)=2\sqrt2\cos x-2\sqrt2\sin x.
$$
Вторая формула даёт $\cos(\pi-x)=-\cos x$. Подставим:
$$
2\sqrt2\cos x-2\sqrt2\sin x-2\sqrt2\cos x=2;\qquad-2\sqrt2\sin x=2.
$$
Делим на ненулевое $-2\sqrt2$ и избавимся от корня в знаменателе:
$$
\sin x=-\frac1{\sqrt2}=-\frac{1\cdot\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2}.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
\frac{17\pi}{2}\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n\le 10\pi;\qquad \frac{17}{2}\le -\frac{1}{4}+2n\le 10.
$$
$$
\frac{17}{2}-(-\frac{1}{4})\le 2n\le 10-(-\frac{1}{4});\qquad \frac{35}{8}\le n\le \frac{41}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=5$. Подставим каждое:
$$
n=5:\qquad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi\cdot(5)=\frac{39\pi}{4}.
$$
Серия 2: $x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n$.
$$
\frac{17\pi}{2}\le -\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le 10\pi;\qquad \frac{17}{2}\le -\frac{3}{4}+2n\le 10.
$$
$$
\frac{17}{2}-(-\frac{3}{4})\le 2n\le 10-(-\frac{3}{4});\qquad \frac{37}{8}\le n\le \frac{43}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=5$. Подставим каждое:
$$
n=5:\qquad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi\cdot(5)=\frac{37\pi}{4}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{37\pi}{4},\quad \frac{39\pi}{4}.
$$