а) Решите уравнение
$2\sin (x+\frac{\pi }{6})-2\sqrt{3}{\cos }^{2}x=\cos x-2\sqrt{3}$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- \frac{5\pi }{2}; - \pi ]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\pi n$, $x=-\frac\pi6+2\pi n$ или $x=-\frac{5\pi}6+2\pi n$; б) $-\frac{13\pi}6$, $-2\pi$, $-\pi$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Разложим синус суммы:
$$
2\sin(x+\pi/6)=2\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=\sqrt3\sin x+\cos x.
$$
Подставим и вычтем $\cos x$ из обеих частей:
$$
\sqrt3\sin x+\cos x-2\sqrt3\cos^2x=\cos x-2\sqrt3;\quad\sqrt3\sin x-2\sqrt3\cos^2x=-2\sqrt3.
$$
Перенесём правую часть, объединим последние слагаемые и применим тождество Пифагора:
$$
\sqrt3\sin x+2\sqrt3(1-\cos^2x)=0;\quad\sqrt3\sin x+2\sqrt3\sin^2x=0;\quad\sqrt3\sin x(1+2\sin x)=0.
$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай.
$$
\sin x=0\quad\text{или}\quad1+2\sin x=0;\quad\sin x=-\frac12.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Синус равен нулю на горизонтальной оси окружности: углы 0 и $\pi$, затем они повторяются через $\pi$.
$$
x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\sin x=-\frac12$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\pi n$.
$$
-\frac{5\pi}{2}\le \pi n\le -\pi;\qquad -\frac{5}{2}\le 0+1n\le -1.
$$
$$
-\frac{5}{2}-(0)\le 1n\le -1-(0);\qquad -\frac{5}{2}\le n\le -1.
$$
Подходящие целые значения: $n=-2,-1$. Подставим каждое:
$$
n=-2:\qquad x=0+\pi\cdot(-2)=-2\pi.
$$
$$
n=-1:\qquad x=0+\pi\cdot(-1)=-\pi.
$$
Серия 2: $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
-\frac{5\pi}{2}\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le -\pi;\qquad -\frac{5}{2}\le -\frac{1}{6}+2n\le -1.
$$
$$
-\frac{5}{2}-(-\frac{1}{6})\le 2n\le -1-(-\frac{1}{6});\qquad -\frac{7}{6}\le n\le -\frac{5}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-1$. Подставим каждое:
$$
n=-1:\qquad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(-1)=-\frac{13\pi}{6}.
$$
Серия 3: $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
$$
-\frac{5\pi}{2}\le -\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le -\pi;\qquad -\frac{5}{2}\le -\frac{5}{6}+2n\le -1.
$$
$$
-\frac{5}{2}-(-\frac{5}{6})\le 2n\le -1-(-\frac{5}{6});\qquad -\frac{5}{6}\le n\le -\frac{1}{12}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-\frac{13\pi}{6},\quad -2\pi,\quad -\pi.
$$