а) Решите уравнение
$\cos 2x+\cos (-x)=0.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- \frac{7\pi }{2}; - 2\pi ].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\pm\pi/3+2\pi k$ или $x=\pi+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$; б) $-3\pi$, $-7\pi/3$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. На единичной окружности углы $x$ и $-x$ симметричны относительно горизонтальной оси: горизонтальная координата сохраняется, вертикальная меняет знак. Поэтому $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Заменим косинус отрицательного аргумента и двойного угла:
$$
2\cos^2x-1+\cos x=0;\qquad2\cos^2x+\cos x-1=0.
$$
Обозначим $t=\cos x$, обязательно $-1\le t\le1$:
$$
2t^2+t-1=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=2$, $B=1$, $C=-1$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(1)^2-4\cdot(2)\cdot(-1)=1+8=9.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{9}=3,\qquad 3^2=3\cdot3=9.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-1+3}{4}=\frac24=\frac12;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-1-3}{4}=\frac{-4}{4}=-1.
$$
Оба значения лежат между −1 и 1. Возвращаемся к косинусу:
$$
\cos x=\frac12\quad\text{или}\quad\cos x=-1.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\cos x=\frac12$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Координата по горизонтали равна $-1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$.
$$
x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$.
$$
-\frac{7\pi}{2}\le \frac{\pi}{3}+2\pi n\le -2\pi;\qquad -\frac{7}{2}\le \frac{1}{3}+2n\le -2.
$$
$$
-\frac{7}{2}-(\frac{1}{3})\le 2n\le -2-(\frac{1}{3});\qquad -\frac{23}{12}\le n\le -\frac{7}{6}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.
Серия 2: $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$.
$$
-\frac{7\pi}{2}\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n\le -2\pi;\qquad -\frac{7}{2}\le -\frac{1}{3}+2n\le -2.
$$
$$
-\frac{7}{2}-(-\frac{1}{3})\le 2n\le -2-(-\frac{1}{3});\qquad -\frac{19}{12}\le n\le -\frac{5}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-1$. Подставим каждое:
$$
n=-1:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot(-1)=-\frac{7\pi}{3}.
$$
Серия 3: $x=\pi+2\pi n$.
$$
-\frac{7\pi}{2}\le \pi+2\pi n\le -2\pi;\qquad -\frac{7}{2}\le 1+2n\le -2.
$$
$$
-\frac{7}{2}-(1)\le 2n\le -2-(1);\qquad -\frac{9}{4}\le n\le -\frac{3}{2}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-2$. Подставим каждое:
$$
n=-2:\qquad x=\pi+2\pi\cdot(-2)=-3\pi.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-3\pi,\quad -\frac{7\pi}{3}.
$$
а) Решите уравнение
$\cos 2x-\sqrt{2}\cos (\frac{3\pi }{2}+x)-1=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi }{2}; 3\pi ]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) x = πk или x = 5π/4 + 2πk или x = 7π/4 + 2πk, k ∈ Z; б) 7π/4, 2π, 3π
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.У угла $3\pi/2$ синус равен −1, косинус — 0. Поэтому:
$$
\cos(3\pi/2+x)=0\cdot\cos x-(-1)\sin x=\sin x.
$$
Подставим это и запись двойного угла через синус:
$$
1-2\sin^2x-\sqrt2\sin x-1=0;\qquad-2\sin^2x-\sqrt2\sin x=0.
$$
Умножим обе части на −1 и вынесем общий синус:
$$
2\sin^2x+\sqrt2\sin x=0;\qquad\sin x(2\sin x+\sqrt2)=0.
$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай.
$$
\sin x=0\quad\text{или}\quad2\sin x+\sqrt2=0;\qquad\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Синус равен нулю на горизонтальной оси окружности: углы 0 и $\pi$, затем они повторяются через $\pi$.
$$
x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le \pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le 0+1n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(0)\le 1n\le 3-(0);\qquad \frac{3}{2}\le n\le 3.
$$
Подходящие целые значения: $n=2,3$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=0+\pi\cdot(2)=2\pi.
$$
$$
n=3:\qquad x=0+\pi\cdot(3)=3\pi.
$$
Серия 2: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{1}{4}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(-\frac{1}{4})\le 2n\le 3-(-\frac{1}{4});\qquad \frac{7}{8}\le n\le \frac{13}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi\cdot(1)=\frac{7\pi}{4}.
$$
Серия 3: $x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le -\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{3}{4}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(-\frac{3}{4})\le 2n\le 3-(-\frac{3}{4});\qquad \frac{9}{8}\le n\le \frac{15}{8}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{7\pi}{4},\quad 2\pi,\quad 3\pi.
$$
а) Решите уравнение
${27}^{x} -28\cdot {3}^{x + 1} +{3}^{5 - x} =0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\sqrt{3} ; {\log }_{2}5]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) x = 1/2 или x = 2; б) 2
Решение
а) Уравнение определено при всех действительных $x$, поскольку основания степеней положительны. Здесь основания $27$ и $3$ связаны: $27=3^3$. Это позволяет заменить несколько разных степеней одной переменной.Сначала вычислим нужные целые степени основания последовательным умножением:
$$
3^2=3\cdot3=9;\quad3^3=9\cdot3=27;\quad3^4=27\cdot3=81;\quad3^5=81\cdot3=243.
$$
Положим $t=3^x>0$. По правилам степеней:
$$
27^x=(3^3)^x=(3^x)^3=t^3;\qquad3^{x+1}=3^x\cdot3^{1}=3t;
$$
Степень с разностью показателей — частное степеней:
$$
3^{5-x}=\frac{3^5}{3^x}=\frac{243}t.
$$
Подставим замену и посчитаем коэффициент среднего слагаемого:
$$
t^3-28\cdot3t+\frac{243}t=0;\qquad t^3-84t+\frac{243}t=0.
$$
Умножаем на $t$. Он строго положителен и не равен нулю, поэтому это равносильное преобразование:
$$
t^4-84t^2+243=0.
$$
В уравнении есть только $t^4=(t^2)^2$ и $t^2$, поэтому вводим ещё одну переменную $u=t^2>0$:
$$
u^2-84u+243=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $u$. Его коэффициенты $A=1$, $B=-84$, $C=243$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-84)^2-4\cdot(1)\cdot(243)=7056-972=6084.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{6084}=78,\qquad 78^2=78\cdot78=6084.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
u_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{84+78}2=\frac{162}2=81;
$$
$$
u_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{84-78}2=\frac{6}2=3.
$$
Оба корня положительны, поэтому допустимы для $u$. Вернёмся сразу к $x$: по определению $u=t^2=(3^x)^2=3^{2x}$. Это позволяет не вводить лишние отрицательные значения $t$, ведь $t$ изначально положительно.Если $u=81$, запишем это число степенью того же основания. Равенство показателей следует из строгого возрастания функции $3^y$:
$$
3^{2x}=81=3^{4};\quad2x=4;\quad x=\frac{4}2=2.
$$
Если $u=3$, запишем это число степенью того же основания. Равенство показателей следует из строгого возрастания функции $3^y$:
$$
3^{2x}=3=3^{1};\quad2x=1;\quad x=\frac{1}2=\frac{1}{2}.
$$
Проверим оба значения именно в исходном уравнении:Для $x=1/2$ применим $3^{m+1/2}=3^m\sqrt3$:
$$
27^{1/2}=3^{3/2}=3\sqrt3;\quad3^{3/2}=3\sqrt3;\quad3^{9/2}=81\sqrt3;\quad3\sqrt3-28\cdot3\sqrt3+81\sqrt3=(3-84+81)\sqrt3=0.
$$
Для $x=2$:
$$
27^2-28\cdot3^3+3^3=729-28\cdot27+27=729-756+27=0.
$$
Ответ пункта а):
$$
x=\frac{1}{2}\quad\text{или}\quad x=2.
$$
б) Сравним каждый найденный корень с границами. Для логарифма с основанием больше 1 сохраняется порядок: $\log_a b\le x\le\log_a c$ равносильно $b\le a^x\le c$, поскольку $a^y$ строго возрастает. Если граница — квадратный корень, неотрицательные величины можно сравнивать по их квадратам.Корень $1/2$ меньше левой границы $\sqrt3$, потому что обе величины неотрицательны, а:
$$
(1/2)^2=\frac14<3=(\sqrt3)^2.
$$
Для корня 2 левая граница меньше него, а правая — больше:
$$
(\sqrt3)^2=3<4=2^2;\quad2^2=4<5;\quad\sqrt3<2<\log_2 5.
$$
Поэтому на заданном отрезке лежит только:
$$
x=2.
$$
а) Решите уравнение
$9\cdot {81}^{\cos x}-28\cdot {9}^{\cos x}+3=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{5\pi }{2}; 4\pi ]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) x = ±π/3 + 2πk или x = π + 2πk, k ∈ Z; б) 3π, 11π/3
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Степени определены и положительны при любом $x$. Основание 81 равно $9^2$, поэтому удобно обозначить $t=9^{\cos x}>0$:
$$
81^{\cos x}=(9^2)^{\cos x}=9^{2\cos x}=(9^{\cos x})^2=t^2;\qquad9t^2-28t+3=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=9$, $B=-28$, $C=3$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-28)^2-4\cdot(9)\cdot(3)=784-108=676.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{676}=26,\qquad 26^2=26\cdot26=676.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{28+26}{18}=\frac{54}{18}=3;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{28-26}{18}=\frac2{18}=\frac19.
$$
Оба корня положительны. Представим их степенями того же основания. Функция $9^y$ строго возрастает, значит, равные степени имеют равные показатели:
$$
3=9^{1/2},\qquad\frac19=9^{-1};\qquad\cos x=\frac12\quad\text{или}\quad\cos x=-1.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\cos x=\frac12$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Координата по горизонтали равна $-1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$.
$$
x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$.
$$
\frac{5\pi}{2}\le \frac{\pi}{3}+2\pi n\le 4\pi;\qquad \frac{5}{2}\le \frac{1}{3}+2n\le 4.
$$
$$
\frac{5}{2}-(\frac{1}{3})\le 2n\le 4-(\frac{1}{3});\qquad \frac{13}{12}\le n\le \frac{11}{6}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.
Серия 2: $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$.
$$
\frac{5\pi}{2}\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n\le 4\pi;\qquad \frac{5}{2}\le -\frac{1}{3}+2n\le 4.
$$
$$
\frac{5}{2}-(-\frac{1}{3})\le 2n\le 4-(-\frac{1}{3});\qquad \frac{17}{12}\le n\le \frac{13}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot(2)=\frac{11\pi}{3}.
$$
Серия 3: $x=\pi+2\pi n$.
$$
\frac{5\pi}{2}\le \pi+2\pi n\le 4\pi;\qquad \frac{5}{2}\le 1+2n\le 4.
$$
$$
\frac{5}{2}-(1)\le 2n\le 4-(1);\qquad \frac{3}{4}\le n\le \frac{3}{2}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=\pi+2\pi\cdot(1)=3\pi.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=3\pi,\quad \frac{11\pi}{3}.
$$
а) Решите уравнение
${16}^{\sin x}+{16}^{\sin (x + \pi )}=\frac{17}{4}$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi }{2}; 3\pi ]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) x = πk ± π/6, k ∈ Z; б) 11π/6, 13π/6, 17π/6
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Полуоборот меняет знак синуса:
$$
\sin(x+\pi)=\sin x\cdot(-1)+\cos x\cdot0=-\sin x.
$$
Обозначим $t=16^{\sin x}>0$. Отрицательный показатель даёт обратную величину:
$$
16^{\sin(x+\pi)}=16^{-\sin x}=\frac1{16^{\sin x}}=\frac1t;\qquad t+\frac1t=\frac{17}{4}.
$$
Умножим обе части на положительное $4t$, поэтому корней не теряем и не добавляем:
$$
4t^2+4=17t;\qquad4t^2-17t+4=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=4$, $B=-17$, $C=4$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-17)^2-4\cdot(4)\cdot(4)=289-64=225.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{225}=15,\qquad 15^2=15\cdot15=225.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{17+15}{8}=\frac{32}{8}=4;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{17-15}{8}=\frac28=\frac14.
$$
Оба значения положительны. Так как $16=2^4$, перепишем корни степенями 16 и приравняем показатели:
$$
4=2^2=16^{1/2};\qquad\frac14=2^{-2}=16^{-1/2};\qquad\sin x=\frac12\quad\text{или}\quad\sin x=-\frac12.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\sin x=\frac12$ нужна вертикальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\sin x=-\frac12$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le \frac{1}{6}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(\frac{1}{6})\le 2n\le 3-(\frac{1}{6});\qquad \frac{2}{3}\le n\le \frac{17}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(1)=\frac{13\pi}{6}.
$$
Серия 2: $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le \frac{5}{6}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(\frac{5}{6})\le 2n\le 3-(\frac{5}{6});\qquad \frac{1}{3}\le n\le \frac{13}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi\cdot(1)=\frac{17\pi}{6}.
$$
Серия 3: $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{1}{6}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(-\frac{1}{6})\le 2n\le 3-(-\frac{1}{6});\qquad \frac{5}{6}\le n\le \frac{19}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(1)=\frac{11\pi}{6}.
$$
Серия 4: $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le -\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{5}{6}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(-\frac{5}{6})\le 2n\le 3-(-\frac{5}{6});\qquad \frac{7}{6}\le n\le \frac{23}{12}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{11\pi}{6},\quad \frac{13\pi}{6},\quad \frac{17\pi}{6}.
$$
а) Решите уравнение
$\sin 2x+2\sin (-x)+\cos (-x)-1=0.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi ; \frac{7\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) x = 2πk или x = -π/6 + 2πk или x = 7π/6 + 2πk, k ∈ Z; б) 2π, 19π/6
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. На единичной окружности углы $x$ и $-x$ симметричны относительно горизонтальной оси: горизонтальная координата сохраняется, вертикальная меняет знак. Поэтому $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Подставим формулы в исходное уравнение:
$$
2\sin x\cos x-2\sin x+\cos x-1=0.
$$
Сгруппируем первые два и последние два слагаемых, затем вынесем общую скобку:
$$
2\sin x(\cos x-1)+1\cdot(\cos x-1)=0;\qquad(\cos x-1)(2\sin x+1)=0.
$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай.
$$
\cos x-1=0\quad\text{или}\quad2\sin x+1=0;\qquad\cos x=1\quad\text{или}\quad\sin x=-\frac12.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Координата по горизонтали равна $1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$.
$$
x=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\sin x=-\frac12$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=2\pi n$.
$$
2\pi\le 2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le 0+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(0)\le 2n\le \frac{7}{2}-(0);\qquad 1\le n\le \frac{7}{4}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=0+2\pi\cdot(1)=2\pi.
$$
Серия 2: $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
2\pi\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le -\frac{1}{6}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(-\frac{1}{6})\le 2n\le \frac{7}{2}-(-\frac{1}{6});\qquad \frac{13}{12}\le n\le \frac{11}{6}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.
Серия 3: $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
$$
2\pi\le -\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le -\frac{5}{6}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(-\frac{5}{6})\le 2n\le \frac{7}{2}-(-\frac{5}{6});\qquad \frac{17}{12}\le n\le \frac{13}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi\cdot(2)=\frac{19\pi}{6}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=2\pi,\quad \frac{19\pi}{6}.
$$
а) Решите уравнение
$2\cos x-2\sqrt{3}\cos (-x)-4{\sin }^{2}x=\sqrt{3}-4.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi ; \frac{7\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) x = ±2π/3 + 2πk или x = ±π/6 + 2πk, k ∈ Z; б) 13π/6, 8π/3, 10π/3
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. На единичной окружности углы $x$ и $-x$ симметричны относительно горизонтальной оси: горизонтальная координата сохраняется, вертикальная меняет знак. Поэтому $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$.Из $\sin^2x+\cos^2x=1$ выразим $\sin^2x=1-\cos^2x$. Сведём уравнение к косинусу:
$$
2\cos x-2\sqrt3\cos x-4(1-\cos^2x)=\sqrt3-4.
$$
Раскроем скобки и перенесём правую часть влево:
$$
2\cos x-2\sqrt3\cos x-4+4\cos^2x-\sqrt3+4=0;\qquad4\cos^2x+(2-2\sqrt3)\cos x-\sqrt3=0.
$$
Положим $t=\cos x$, где $-1\le t\le1$:
$$
4t^2+(2-2\sqrt3)t-\sqrt3=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=4$, $B=2-2\sqrt3$, $C=-\sqrt3$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(2-2\sqrt3)^2-4\cdot(4)\cdot(-\sqrt3)=(4-8\sqrt3+12)+16\sqrt3=16+8\sqrt3.
$$
Корень из дискриминанта упростим явной проверкой:
$$
(2+2\sqrt3)^2=4+8\sqrt3+12=16+8\sqrt3;\qquad\sqrt D=2+2\sqrt3.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-2+2\sqrt3+(2+2\sqrt3)}8=\frac{4\sqrt3}{8}=\frac{\sqrt3}{2};
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-2+2\sqrt3-(2+2\sqrt3)}8=\frac{-4}{8}=-\frac12.
$$
Оба корня допустимы для косинуса:
$$
\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\quad\text{или}\quad\cos x=-\frac12.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\cos x=-\frac12$ нужна горизонтальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
2\pi\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le \frac{1}{6}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(\frac{1}{6})\le 2n\le \frac{7}{2}-(\frac{1}{6});\qquad \frac{11}{12}\le n\le \frac{5}{3}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(1)=\frac{13\pi}{6}.
$$
Серия 2: $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
2\pi\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le -\frac{1}{6}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(-\frac{1}{6})\le 2n\le \frac{7}{2}-(-\frac{1}{6});\qquad \frac{13}{12}\le n\le \frac{11}{6}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.
Серия 3: $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$.
$$
2\pi\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le \frac{2}{3}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(\frac{2}{3})\le 2n\le \frac{7}{2}-(\frac{2}{3});\qquad \frac{2}{3}\le n\le \frac{17}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot(1)=\frac{8\pi}{3}.
$$
Серия 4: $x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$.
$$
2\pi\le -\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le -\frac{2}{3}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(-\frac{2}{3})\le 2n\le \frac{7}{2}-(-\frac{2}{3});\qquad \frac{4}{3}\le n\le \frac{25}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot(2)=\frac{10\pi}{3}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{13\pi}{6},\quad \frac{8\pi}{3},\quad \frac{10\pi}{3}.
$$
а) Решите уравнение
$2\sin (x+\frac{\pi }{3})+\cos 2x=\sqrt{3}\cos x+1$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- 3\pi ; - \frac{3\pi }{2}]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\pi n$, $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $-3\pi$, $-2\pi$, $-\frac{11\pi}{6}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Подставим $\cos(\pi/3)=1/2$, $\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$:
$$
2\sin(x+\pi/3)=2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=\sin x+\sqrt3\cos x.
$$
Заменим левую часть и вычтем одинаковое слагаемое $\sqrt3\cos x$ из обеих частей:
$$
\sin x+\sqrt3\cos x+\cos2x=\sqrt3\cos x+1;\qquad\sin x+\cos2x=1.
$$
Теперь используем двойной угол через синус и вычтем 1:
$$
\sin x+1-2\sin^2x=1;\qquad\sin x-2\sin^2x=0;\qquad\sin x(1-2\sin x)=0.
$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай.
$$
\sin x=0\quad\text{или}\quad1-2\sin x=0;\qquad\sin x=\frac12.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Синус равен нулю на горизонтальной оси окружности: углы 0 и $\pi$, затем они повторяются через $\pi$.
$$
x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\sin x=\frac12$ нужна вертикальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\pi n$.
$$
-3\pi\le \pi n\le -\frac{3\pi}{2};\qquad -3\le 0+1n\le -\frac{3}{2}.
$$
$$
-3-(0)\le 1n\le -\frac{3}{2}-(0);\qquad -3\le n\le -\frac{3}{2}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-3,-2$. Подставим каждое:
$$
n=-3:\qquad x=0+\pi\cdot(-3)=-3\pi.
$$
$$
n=-2:\qquad x=0+\pi\cdot(-2)=-2\pi.
$$
Серия 2: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
-3\pi\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le -\frac{3\pi}{2};\qquad -3\le \frac{1}{6}+2n\le -\frac{3}{2}.
$$
$$
-3-(\frac{1}{6})\le 2n\le -\frac{3}{2}-(\frac{1}{6});\qquad -\frac{19}{12}\le n\le -\frac{5}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-1$. Подставим каждое:
$$
n=-1:\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(-1)=-\frac{11\pi}{6}.
$$
Серия 3: $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
$$
-3\pi\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n\le -\frac{3\pi}{2};\qquad -3\le \frac{5}{6}+2n\le -\frac{3}{2}.
$$
$$
-3-(\frac{5}{6})\le 2n\le -\frac{3}{2}-(\frac{5}{6});\qquad -\frac{23}{12}\le n\le -\frac{7}{6}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-3\pi,\quad -2\pi,\quad -\frac{11\pi}{6}.
$$
а) Решите уравнение
$\cos 2x+\sqrt{2}\cos (x+\pi )+1=0.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- 4\pi ; -\frac{5\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac\pi2+\pi n$ или $x=\pm\frac\pi4+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $-\frac{15\pi}{4}$, $-\frac{7\pi}{2}$, $-\frac{5\pi}{2}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Косинус полуоборота равен −1, синус — 0:
$$
\cos(x+\pi)=\cos x\cdot(-1)-\sin x\cdot0=-\cos x.
$$
Подставим формулы, сократим единицы и вынесем косинус:
$$
2\cos^2x-1-\sqrt2\cos x+1=0;\qquad2\cos^2x-\sqrt2\cos x=0;\qquad\cos x(2\cos x-\sqrt2)=0.
$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай.
$$
\cos x=0\quad\text{или}\quad2\cos x=\sqrt2;\qquad\cos x=\frac{\sqrt2}{2}.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: первый угол $\pi/2$, а соседний отличается на $\pi$.
$$
x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{2}+\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$.
$$
-4\pi\le \frac{\pi}{2}+\pi n\le -\frac{5\pi}{2};\qquad -4\le \frac{1}{2}+1n\le -\frac{5}{2}.
$$
$$
-4-(\frac{1}{2})\le 1n\le -\frac{5}{2}-(\frac{1}{2});\qquad -\frac{9}{2}\le n\le -3.
$$
Подходящие целые значения: $n=-4,-3$. Подставим каждое:
$$
n=-4:\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot(-4)=-\frac{7\pi}{2}.
$$
$$
n=-3:\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot(-3)=-\frac{5\pi}{2}.
$$
Серия 2: $x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
-4\pi\le \frac{\pi}{4}+2\pi n\le -\frac{5\pi}{2};\qquad -4\le \frac{1}{4}+2n\le -\frac{5}{2}.
$$
$$
-4-(\frac{1}{4})\le 2n\le -\frac{5}{2}-(\frac{1}{4});\qquad -\frac{17}{8}\le n\le -\frac{11}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-2$. Подставим каждое:
$$
n=-2:\qquad x=\frac{\pi}{4}+2\pi\cdot(-2)=-\frac{15\pi}{4}.
$$
Серия 3: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
-4\pi\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n\le -\frac{5\pi}{2};\qquad -4\le -\frac{1}{4}+2n\le -\frac{5}{2}.
$$
$$
-4-(-\frac{1}{4})\le 2n\le -\frac{5}{2}-(-\frac{1}{4});\qquad -\frac{15}{8}\le n\le -\frac{9}{8}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-\frac{15\pi}{4},\quad -\frac{7\pi}{2},\quad -\frac{5\pi}{2}.
$$
а) Решите уравнение
$2{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin (2\pi -x)+\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{6}\cos x.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\pi ; \frac{\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac\pi4+2\pi n$, $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$ или $x=-\frac\pi3+\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $-\frac\pi3$, $\frac\pi4$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.У $2\pi$ синус 0, косинус 1. Поэтому:
$$
\sin(2\pi-x)=0\cdot\cos x-1\cdot\sin x=-\sin x.
$$
Перенесём правую часть влево и раскроем двойной угол:
$$
2\sin^2x-\sqrt2\sin x+2\sqrt3\sin x\cos x-\sqrt6\cos x=0.
$$
Вынесем множители из пар слагаемых; $\sqrt6=\sqrt3\sqrt2$:
$$
\sin x(2\sin x-\sqrt2)+\sqrt3\cos x(2\sin x-\sqrt2)=0;\qquad(2\sin x-\sqrt2)(\sin x+\sqrt3\cos x)=0.
$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай.
$$
\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\quad\text{или}\quad\sin x+\sqrt3\cos x=0.
$$
Для второго случая применим ту же формулу суммы в обратную сторону:
$$
2\sin(x+\pi/3)=2(\sin x\cdot\tfrac12+\cos x\cdot\tfrac{\sqrt3}{2})=\sin x+\sqrt3\cos x.
$$
Следовательно, второй множитель равен нулю, когда:
$$
2\sin(x+\pi/3)=0;\qquad\sin(x+\pi/3)=0;\qquad x+\pi/3=\pi n;\qquad x=-\pi/3+\pi n.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$ нужна вертикальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Синус равен нулю при целых кратных $\pi$; сдвиг переносим в другую часть равенства.
$$
x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
-\pi\le \frac{\pi}{4}+2\pi n\le \frac{\pi}{2};\qquad -1\le \frac{1}{4}+2n\le \frac{1}{2}.
$$
$$
-1-(\frac{1}{4})\le 2n\le \frac{1}{2}-(\frac{1}{4});\qquad -\frac{5}{8}\le n\le \frac{1}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=0$. Подставим каждое:
$$
n=0:\qquad x=\frac{\pi}{4}+2\pi\cdot(0)=\frac{\pi}{4}.
$$
Серия 2: $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$.
$$
-\pi\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n\le \frac{\pi}{2};\qquad -1\le \frac{3}{4}+2n\le \frac{1}{2}.
$$
$$
-1-(\frac{3}{4})\le 2n\le \frac{1}{2}-(\frac{3}{4});\qquad -\frac{7}{8}\le n\le -\frac{1}{8}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.
Серия 3: $x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$.
$$
-\pi\le -\frac{\pi}{3}+\pi n\le \frac{\pi}{2};\qquad -1\le -\frac{1}{3}+1n\le \frac{1}{2}.
$$
$$
-1-(-\frac{1}{3})\le 1n\le \frac{1}{2}-(-\frac{1}{3});\qquad -\frac{2}{3}\le n\le \frac{5}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=0$. Подставим каждое:
$$
n=0:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(0)=-\frac{\pi}{3}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-\frac{\pi}{3},\quad \frac{\pi}{4}.
$$
а) Решите уравнение
$\cos 2x-3\sin (-x)-2=0.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi ; \frac{9\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac\pi6+2\pi n$, $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\frac\pi2+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $\frac{25\pi}{6}$, $\frac{9\pi}{2}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. На единичной окружности углы $x$ и $-x$ симметричны относительно горизонтальной оси: горизонтальная координата сохраняется, вертикальная меняет знак. Поэтому $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Подставим нечётность синуса и двойной угол:
$$
1-2\sin^2x+3\sin x-2=0;\qquad-2\sin^2x+3\sin x-1=0.
$$
Умножим на −1 и обозначим $t=\sin x$, где $-1\le t\le1$:
$$
2\sin^2x-3\sin x+1=0;\qquad2t^2-3t+1=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=2$, $B=-3$, $C=1$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-3)^2-4\cdot(2)\cdot(1)=9-8=1.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{1}=1,\qquad 1^2=1\cdot1=1.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{3+1}{4}=1;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{3-1}{4}=\frac12.
$$
Оба значения допустимы:
$$
\sin x=1\quad\text{или}\quad\sin x=\frac12.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Координата по вертикали равна $1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$.
$$
x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\sin x=\frac12$ нужна вертикальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$.
$$
3\pi\le \frac{\pi}{2}+2\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le \frac{1}{2}+2n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(\frac{1}{2})\le 2n\le \frac{9}{2}-(\frac{1}{2});\qquad \frac{5}{4}\le n\le 2.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot(2)=\frac{9\pi}{2}.
$$
Серия 2: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
3\pi\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le \frac{1}{6}+2n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(\frac{1}{6})\le 2n\le \frac{9}{2}-(\frac{1}{6});\qquad \frac{17}{12}\le n\le \frac{13}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(2)=\frac{25\pi}{6}.
$$
Серия 3: $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
$$
3\pi\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le \frac{5}{6}+2n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(\frac{5}{6})\le 2n\le \frac{9}{2}-(\frac{5}{6});\qquad \frac{13}{12}\le n\le \frac{11}{6}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{25\pi}{6},\quad \frac{9\pi}{2}.
$$
а) Решите уравнение
$2\sqrt{3}{\sin }^{2}(x+\frac{3\pi }{2})+\sin 2x=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- 4\pi ; -\frac{5\pi }{2}]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac\pi2+\pi n$ или $x=-\frac\pi3+\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $-\frac{7\pi}{2}$, $-\frac{10\pi}{3}$, $-\frac{5\pi}{2}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Вычислим сдвинутый синус, затем его квадрат:
$$
\sin(x+3\pi/2)=0\cdot\sin x-\cos x=-\cos x;\qquad\sin^2(x+3\pi/2)=(-\cos x)^2=\cos^2x.
$$
Подставим и вынесем общий множитель:
$$
2\sqrt3\cos^2x+2\sin x\cos x=0;\qquad2\cos x(\sqrt3\cos x+\sin x)=0.
$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай.
$$
\cos x=0\quad\text{или}\quad\sin x+\sqrt3\cos x=0.
$$
Преобразуем второй случай через формулу суммы:
$$
2\sin(x+\pi/3)=2(\sin x\cdot\tfrac12+\cos x\cdot\tfrac{\sqrt3}{2})=\sin x+\sqrt3\cos x.
$$
Делим на ненулевую константу 2 и решаем синус нуль:
$$
\sin(x+\pi/3)=0;\quad x+\pi/3=\pi n;\quad x=-\pi/3+\pi n.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: первый угол $\pi/2$, а соседний отличается на $\pi$.
$$
x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Вторая серия получена переносом $\pi/3$; $n$ — любое целое.
$$
x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{2}+\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$.
$$
-4\pi\le \frac{\pi}{2}+\pi n\le -\frac{5\pi}{2};\qquad -4\le \frac{1}{2}+1n\le -\frac{5}{2}.
$$
$$
-4-(\frac{1}{2})\le 1n\le -\frac{5}{2}-(\frac{1}{2});\qquad -\frac{9}{2}\le n\le -3.
$$
Подходящие целые значения: $n=-4,-3$. Подставим каждое:
$$
n=-4:\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot(-4)=-\frac{7\pi}{2}.
$$
$$
n=-3:\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot(-3)=-\frac{5\pi}{2}.
$$
Серия 2: $x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$.
$$
-4\pi\le -\frac{\pi}{3}+\pi n\le -\frac{5\pi}{2};\qquad -4\le -\frac{1}{3}+1n\le -\frac{5}{2}.
$$
$$
-4-(-\frac{1}{3})\le 1n\le -\frac{5}{2}-(-\frac{1}{3});\qquad -\frac{11}{3}\le n\le -\frac{13}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-3$. Подставим каждое:
$$
n=-3:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(-3)=-\frac{10\pi}{3}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-\frac{7\pi}{2},\quad -\frac{10\pi}{3},\quad -\frac{5\pi}{2}.
$$
а) Решите уравнение
$2+2\cos (\pi -2x)+\sqrt{8}\sin x=\sqrt{6}+\sqrt{12}\sin x.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi ; \frac{9\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=-\frac\pi4+2\pi n$, $x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n$, $x=\frac\pi3+2\pi n$ или $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $\frac{13\pi}{4}$, $\frac{15\pi}{4}$, $\frac{13\pi}{3}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Преобразуем сдвиг и квадратные корни:
$$
\cos(\pi-2x)=-\cos2x;\quad\sqrt8=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2;\quad\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3.
$$
Подставим двойной угол через синус:
$$
2-2(1-2\sin^2x)+2\sqrt2\sin x=\sqrt6+2\sqrt3\sin x.
$$
Раскроем скобки, перенесём правую часть и положим $t=\sin x$:
$$
2-2+4\sin^2x+(2\sqrt2-2\sqrt3)\sin x-\sqrt6=0;\quad4t^2+(2\sqrt2-2\sqrt3)t-\sqrt6=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=4$, $B=2\sqrt2-2\sqrt3$, $C=-\sqrt6$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(2\sqrt2-2\sqrt3)^2-4\cdot(4)\cdot(-\sqrt6)=(8-8\sqrt6+12)+16\sqrt6=20+8\sqrt6.
$$
Для извлечения корня проверим квадрат положительного выражения:
$$
(2\sqrt2+2\sqrt3)^2=8+8\sqrt6+12=20+8\sqrt6;\quad\sqrt D=2\sqrt2+2\sqrt3.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-2\sqrt2+2\sqrt3+(2\sqrt2+2\sqrt3)}8=\frac{4\sqrt3}{8}=\frac{\sqrt3}{2};
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-2\sqrt2+2\sqrt3-(2\sqrt2+2\sqrt3)}8=\frac{-4\sqrt2}{8}=-\frac{\sqrt2}{2}.
$$
Оба значения лежат между −1 и 1, значит, оба оставляем:
$$
\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\quad\text{или}\quad\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\sin x=\frac{\sqrt3}{2}$ нужна вертикальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$.
$$
3\pi\le \frac{\pi}{3}+2\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le \frac{1}{3}+2n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(\frac{1}{3})\le 2n\le \frac{9}{2}-(\frac{1}{3});\qquad \frac{4}{3}\le n\le \frac{25}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot(2)=\frac{13\pi}{3}.
$$
Серия 2: $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$.
$$
3\pi\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le \frac{2}{3}+2n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(\frac{2}{3})\le 2n\le \frac{9}{2}-(\frac{2}{3});\qquad \frac{7}{6}\le n\le \frac{23}{12}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.
Серия 3: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
3\pi\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le -\frac{1}{4}+2n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(-\frac{1}{4})\le 2n\le \frac{9}{2}-(-\frac{1}{4});\qquad \frac{13}{8}\le n\le \frac{19}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi\cdot(2)=\frac{15\pi}{4}.
$$
Серия 4: $x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n$.
$$
3\pi\le -\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le -\frac{3}{4}+2n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(-\frac{3}{4})\le 2n\le \frac{9}{2}-(-\frac{3}{4});\qquad \frac{15}{8}\le n\le \frac{21}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi\cdot(2)=\frac{13\pi}{4}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{13\pi}{4},\quad \frac{15\pi}{4},\quad \frac{13\pi}{3}.
$$
а) Решите уравнение
$2{\sin }^{2}x+\cos (-x)-1=0.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- \frac{9\pi }{2}; - 3\pi ].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=2\pi n$ или $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $-4\pi$, $-\frac{10\pi}{3}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. На единичной окружности углы $x$ и $-x$ симметричны относительно горизонтальной оси: горизонтальная координата сохраняется, вертикальная меняет знак. Поэтому $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$.Выразим квадрат синуса через косинус:
$$
2(1-\cos^2x)+\cos x-1=0;\qquad1-2\cos^2x+\cos x=0.
$$
Умножим на −1 и введём $t=\cos x$:
$$
2\cos^2x-\cos x-1=0;\qquad2t^2-t-1=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=2$, $B=-1$, $C=-1$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-1)^2-4\cdot(2)\cdot(-1)=1+8=9.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{9}=3,\qquad 3^2=3\cdot3=9.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{1+3}{4}=1;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{1-3}{4}=-\frac12.
$$
Оба корня допустимы для косинуса:
$$
\cos x=1\quad\text{или}\quad\cos x=-\frac12.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Координата по горизонтали равна $1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$.
$$
x=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\cos x=-\frac12$ нужна горизонтальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=2\pi n$.
$$
-\frac{9\pi}{2}\le 2\pi n\le -3\pi;\qquad -\frac{9}{2}\le 0+2n\le -3.
$$
$$
-\frac{9}{2}-(0)\le 2n\le -3-(0);\qquad -\frac{9}{4}\le n\le -\frac{3}{2}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-2$. Подставим каждое:
$$
n=-2:\qquad x=0+2\pi\cdot(-2)=-4\pi.
$$
Серия 2: $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$.
$$
-\frac{9\pi}{2}\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n\le -3\pi;\qquad -\frac{9}{2}\le \frac{2}{3}+2n\le -3.
$$
$$
-\frac{9}{2}-(\frac{2}{3})\le 2n\le -3-(\frac{2}{3});\qquad -\frac{31}{12}\le n\le -\frac{11}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-2$. Подставим каждое:
$$
n=-2:\qquad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot(-2)=-\frac{10\pi}{3}.
$$
Серия 3: $x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$.
$$
-\frac{9\pi}{2}\le -\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le -3\pi;\qquad -\frac{9}{2}\le -\frac{2}{3}+2n\le -3.
$$
$$
-\frac{9}{2}-(-\frac{2}{3})\le 2n\le -3-(-\frac{2}{3});\qquad -\frac{23}{12}\le n\le -\frac{7}{6}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-4\pi,\quad -\frac{10\pi}{3}.
$$
а) Решите уравнение $4\cos (x+\frac{\pi }{4})+2\sqrt{2}\cos (\pi -x)=2.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{17\pi }{2}; 10\pi ].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=-\frac\pi4+2\pi n$ или $x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $\frac{37\pi}{4}$, $\frac{39\pi}{4}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Подставим значения синуса и косинуса $\pi/4$:
$$
4\cos(x+\pi/4)=4\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos x-\frac{\sqrt2}{2}\sin x\right)=2\sqrt2\cos x-2\sqrt2\sin x.
$$
Вторая формула даёт $\cos(\pi-x)=-\cos x$. Подставим:
$$
2\sqrt2\cos x-2\sqrt2\sin x-2\sqrt2\cos x=2;\qquad-2\sqrt2\sin x=2.
$$
Делим на ненулевое $-2\sqrt2$ и избавимся от корня в знаменателе:
$$
\sin x=-\frac1{\sqrt2}=-\frac{1\cdot\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2}.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
\frac{17\pi}{2}\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n\le 10\pi;\qquad \frac{17}{2}\le -\frac{1}{4}+2n\le 10.
$$
$$
\frac{17}{2}-(-\frac{1}{4})\le 2n\le 10-(-\frac{1}{4});\qquad \frac{35}{8}\le n\le \frac{41}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=5$. Подставим каждое:
$$
n=5:\qquad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi\cdot(5)=\frac{39\pi}{4}.
$$
Серия 2: $x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n$.
$$
\frac{17\pi}{2}\le -\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le 10\pi;\qquad \frac{17}{2}\le -\frac{3}{4}+2n\le 10.
$$
$$
\frac{17}{2}-(-\frac{3}{4})\le 2n\le 10-(-\frac{3}{4});\qquad \frac{37}{8}\le n\le \frac{43}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=5$. Подставим каждое:
$$
n=5:\qquad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi\cdot(5)=\frac{37\pi}{4}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{37\pi}{4},\quad \frac{39\pi}{4}.
$$
а) Решите уравнение
$2{\sin }^{2}(\frac{\pi }{2}-x)+\sin 2x=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi ; \frac{9\pi }{2}]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac\pi2+\pi n$ или $x=-\frac\pi4+\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $\frac{7\pi}{2}$, $\frac{15\pi}{4}$, $\frac{9\pi}{2}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Синус разности с прямым углом:
$$
\sin(\pi/2-x)=1\cdot\cos x-0\cdot\sin x=\cos x.
$$
Подставим и вынесем общий множитель:
$$
2\cos^2x+2\sin x\cos x=0;\qquad2\cos x(\cos x+\sin x)=0.
$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай.
$$
\cos x=0\quad\text{или}\quad\sin x+\cos x=0.
$$
Для второго случая вычислим синус суммы:
$$
\sin(x+\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x=\frac{\sqrt2}{2}(\sin x+\cos x).
$$
Множитель $\sqrt2/2$ ненулевой, поэтому:
$$
\sin(x+\pi/4)=0;\quad x+\pi/4=\pi n;\quad x=-\pi/4+\pi n.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: первый угол $\pi/2$, а соседний отличается на $\pi$.
$$
x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Из второго множителя получена серия:
$$
x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{2}+\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$.
$$
3\pi\le \frac{\pi}{2}+\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le \frac{1}{2}+1n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(\frac{1}{2})\le 1n\le \frac{9}{2}-(\frac{1}{2});\qquad \frac{5}{2}\le n\le 4.
$$
Подходящие целые значения: $n=3,4$. Подставим каждое:
$$
n=3:\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot(3)=\frac{7\pi}{2}.
$$
$$
n=4:\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot(4)=\frac{9\pi}{2}.
$$
Серия 2: $x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$.
$$
3\pi\le -\frac{\pi}{4}+\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le -\frac{1}{4}+1n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(-\frac{1}{4})\le 1n\le \frac{9}{2}-(-\frac{1}{4});\qquad \frac{13}{4}\le n\le \frac{19}{4}.
$$
Подходящие целые значения: $n=4$. Подставим каждое:
$$
n=4:\qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi\cdot(4)=\frac{15\pi}{4}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{7\pi}{2},\quad \frac{15\pi}{4},\quad \frac{9\pi}{2}.
$$
а) Решите уравнение
$2{\cos }^{2}x+3\sin (-x)-3=0.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi ; \frac{7\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=-\frac\pi2+2\pi n$, $x=-\frac\pi6+2\pi n$ или $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $\frac{19\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{2}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. На единичной окружности углы $x$ и $-x$ симметричны относительно горизонтальной оси: горизонтальная координата сохраняется, вертикальная меняет знак. Поэтому $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$.Чтобы остался один синус, используем $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$
2(1-\sin^2x)-3\sin x-3=0;\quad2-2\sin^2x-3\sin x-3=0;\quad-2\sin^2x-3\sin x-1=0.
$$
Умножим на −1 и положим $t=\sin x$:
$$
2t^2+3t+1=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=2$, $B=3$, $C=1$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(3)^2-4\cdot(2)\cdot(1)=9-8=1.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{1}=1,\qquad 1^2=1\cdot1=1.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-3+1}{4}=-\frac12;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-3-1}{4}=-1.
$$
Оба значения лежат в допустимом промежутке:
$$
\sin x=-\frac12\quad\text{или}\quad\sin x=-1.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\sin x=-\frac12$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Координата по вертикали равна $-1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$.
$$
x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
2\pi\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le -\frac{1}{6}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(-\frac{1}{6})\le 2n\le \frac{7}{2}-(-\frac{1}{6});\qquad \frac{13}{12}\le n\le \frac{11}{6}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.
Серия 2: $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
$$
2\pi\le -\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le -\frac{5}{6}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(-\frac{5}{6})\le 2n\le \frac{7}{2}-(-\frac{5}{6});\qquad \frac{17}{12}\le n\le \frac{13}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi\cdot(2)=\frac{19\pi}{6}.
$$
Серия 3: $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$.
$$
2\pi\le -\frac{\pi}{2}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le -\frac{1}{2}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(-\frac{1}{2})\le 2n\le \frac{7}{2}-(-\frac{1}{2});\qquad \frac{5}{4}\le n\le 2.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot(2)=\frac{7\pi}{2}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{19\pi}{6},\quad \frac{7\pi}{2}.
$$
а) Решите уравнение
$\sin 2x+\sqrt{2}\sin (x+\pi )=0.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi ; -\frac{5\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\pi n$ или $x=\pm\frac\pi4+2\pi n$; б) $-4\pi$, $-\frac{15\pi}{4}$, $-3\pi$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Полуоборот меняет знак синуса:
$$
\sin(x+\pi)=\sin x\cdot(-1)+\cos x\cdot0=-\sin x.
$$
Подставим, вынесем общий множитель и разберём оба нулевых множителя:
$$
2\sin x\cos x-\sqrt2\sin x=0;\quad\sin x(2\cos x-\sqrt2)=0;\quad\sin x=0\quad\text{или}\quad\cos x=\frac{\sqrt2}{2}.
$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай.
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Синус равен нулю на горизонтальной оси окружности: углы 0 и $\pi$, затем они повторяются через $\pi$.
$$
x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\pi n$.
$$
-4\pi\le \pi n\le -\frac{5\pi}{2};\qquad -4\le 0+1n\le -\frac{5}{2}.
$$
$$
-4-(0)\le 1n\le -\frac{5}{2}-(0);\qquad -4\le n\le -\frac{5}{2}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-4,-3$. Подставим каждое:
$$
n=-4:\qquad x=0+\pi\cdot(-4)=-4\pi.
$$
$$
n=-3:\qquad x=0+\pi\cdot(-3)=-3\pi.
$$
Серия 2: $x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
-4\pi\le \frac{\pi}{4}+2\pi n\le -\frac{5\pi}{2};\qquad -4\le \frac{1}{4}+2n\le -\frac{5}{2}.
$$
$$
-4-(\frac{1}{4})\le 2n\le -\frac{5}{2}-(\frac{1}{4});\qquad -\frac{17}{8}\le n\le -\frac{11}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-2$. Подставим каждое:
$$
n=-2:\qquad x=\frac{\pi}{4}+2\pi\cdot(-2)=-\frac{15\pi}{4}.
$$
Серия 3: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
-4\pi\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n\le -\frac{5\pi}{2};\qquad -4\le -\frac{1}{4}+2n\le -\frac{5}{2}.
$$
$$
-4-(-\frac{1}{4})\le 2n\le -\frac{5}{2}-(-\frac{1}{4});\qquad -\frac{15}{8}\le n\le -\frac{9}{8}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-4\pi,\quad -\frac{15\pi}{4},\quad -3\pi.
$$
а) Решите уравнение
${49}^{\sin x}={(\frac{1}{7})}^{- \sqrt{2}\sin 2x}$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi ; \frac{7\pi }{2}]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\pi n$ или $x=\pm\frac\pi4+2\pi n$; б) $2\pi$, $\frac{9\pi}{4}$, $3\pi$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Обе части положительны. Приведём их к основанию 7 по правилу $(a^u)^v=a^{uv}$:
$$
49^{\sin x}=(7^2)^{\sin x}=7^{2\sin x};\qquad(1/7)^{-\sqrt2\sin2x}=(7^{-1})^{-\sqrt2\sin2x}=7^{\sqrt2\sin2x}.
$$
Функция $7^y$ строго возрастает, поэтому при равенстве степеней равны показатели:
$$
2\sin x=\sqrt2\sin2x=2\sqrt2\sin x\cos x.
$$
Перенесём всё влево и вынесем общий множитель:
$$
2\sin x-2\sqrt2\sin x\cos x=0;\quad2\sin x(1-\sqrt2\cos x)=0.
$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай.
$$
\sin x=0\quad\text{или}\quad\sqrt2\cos x=1;\qquad\cos x=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Синус равен нулю на горизонтальной оси окружности: углы 0 и $\pi$, затем они повторяются через $\pi$.
$$
x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\pi n$.
$$
2\pi\le \pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le 0+1n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(0)\le 1n\le \frac{7}{2}-(0);\qquad 2\le n\le \frac{7}{2}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2,3$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=0+\pi\cdot(2)=2\pi.
$$
$$
n=3:\qquad x=0+\pi\cdot(3)=3\pi.
$$
Серия 2: $x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
2\pi\le \frac{\pi}{4}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le \frac{1}{4}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(\frac{1}{4})\le 2n\le \frac{7}{2}-(\frac{1}{4});\qquad \frac{7}{8}\le n\le \frac{13}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=\frac{\pi}{4}+2\pi\cdot(1)=\frac{9\pi}{4}.
$$
Серия 3: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
2\pi\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le -\frac{1}{4}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(-\frac{1}{4})\le 2n\le \frac{7}{2}-(-\frac{1}{4});\qquad \frac{9}{8}\le n\le \frac{15}{8}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=2\pi,\quad \frac{9\pi}{4},\quad 3\pi.
$$
а) Решите уравнение
$27\cdot {81}^{\sin x}-12\cdot {9}^{\sin x}+1=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi }{2} ; 3\pi ]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=-\frac\pi6+2\pi n$, $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ или $x=-\frac\pi2+2\pi n$; б) $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{11\pi}{6}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Положим $t=9^{\sin x}>0$. Основание 81 равно $9^2$, поэтому:
$$
81^{\sin x}=9^{2\sin x}=t^2;\qquad27t^2-12t+1=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=27$, $B=-12$, $C=1$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-12)^2-4\cdot(27)\cdot(1)=144-108=36.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{36}=6,\qquad 6^2=6\cdot6=36.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{12+6}{54}=\frac{18}{54}=\frac13;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{12-6}{54}=\frac6{54}=\frac19.
$$
Оба корня положительны. Перепишем их степенями 9, чтобы вернуться к показателю:
$$
\frac13=9^{-1/2};\qquad\frac19=9^{-1};\qquad9^{\sin x}=9^{-1/2}\quad\text{или}\quad9^{\sin x}=9^{-1}.
$$
Степенная функция с основанием больше 1 строго возрастает. Приравниваем показатели:
$$
\sin x=-\frac12\quad\text{или}\quad\sin x=-1.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\sin x=-\frac12$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Координата по вертикали равна $-1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$.
$$
x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{1}{6}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(-\frac{1}{6})\le 2n\le 3-(-\frac{1}{6});\qquad \frac{5}{6}\le n\le \frac{19}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(1)=\frac{11\pi}{6}.
$$
Серия 2: $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le -\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{5}{6}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(-\frac{5}{6})\le 2n\le 3-(-\frac{5}{6});\qquad \frac{7}{6}\le n\le \frac{23}{12}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.
Серия 3: $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le -\frac{\pi}{2}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{1}{2}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(-\frac{1}{2})\le 2n\le 3-(-\frac{1}{2});\qquad 1\le n\le \frac{7}{4}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot(1)=\frac{3\pi}{2}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{3\pi}{2},\quad \frac{11\pi}{6}.
$$
