а) Решите уравнение
$\cos 2x-3\sin (-x)-2=0.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi ; \frac{9\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac\pi6+2\pi n$, $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\frac\pi2+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $\frac{25\pi}{6}$, $\frac{9\pi}{2}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. На единичной окружности углы $x$ и $-x$ симметричны относительно горизонтальной оси: горизонтальная координата сохраняется, вертикальная меняет знак. Поэтому $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Подставим нечётность синуса и двойной угол:
$$
1-2\sin^2x+3\sin x-2=0;\qquad-2\sin^2x+3\sin x-1=0.
$$
Умножим на −1 и обозначим $t=\sin x$, где $-1\le t\le1$:
$$
2\sin^2x-3\sin x+1=0;\qquad2t^2-3t+1=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=2$, $B=-3$, $C=1$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-3)^2-4\cdot(2)\cdot(1)=9-8=1.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{1}=1,\qquad 1^2=1\cdot1=1.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{3+1}{4}=1;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{3-1}{4}=\frac12.
$$
Оба значения допустимы:
$$
\sin x=1\quad\text{или}\quad\sin x=\frac12.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Координата по вертикали равна $1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$.
$$
x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\sin x=\frac12$ нужна вертикальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$.
$$
3\pi\le \frac{\pi}{2}+2\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le \frac{1}{2}+2n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(\frac{1}{2})\le 2n\le \frac{9}{2}-(\frac{1}{2});\qquad \frac{5}{4}\le n\le 2.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot(2)=\frac{9\pi}{2}.
$$
Серия 2: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
3\pi\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le \frac{1}{6}+2n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(\frac{1}{6})\le 2n\le \frac{9}{2}-(\frac{1}{6});\qquad \frac{17}{12}\le n\le \frac{13}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(2)=\frac{25\pi}{6}.
$$
Серия 3: $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
$$
3\pi\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le \frac{5}{6}+2n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(\frac{5}{6})\le 2n\le \frac{9}{2}-(\frac{5}{6});\qquad \frac{13}{12}\le n\le \frac{11}{6}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{25\pi}{6},\quad \frac{9\pi}{2}.
$$