а) Решите уравнение
$2{\sin }^{2}x+\cos (-x)-1=0.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- \frac{9\pi }{2}; - 3\pi ].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=2\pi n$ или $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $-4\pi$, $-\frac{10\pi}{3}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. На единичной окружности углы $x$ и $-x$ симметричны относительно горизонтальной оси: горизонтальная координата сохраняется, вертикальная меняет знак. Поэтому $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$.Выразим квадрат синуса через косинус:
$$
2(1-\cos^2x)+\cos x-1=0;\qquad1-2\cos^2x+\cos x=0.
$$
Умножим на −1 и введём $t=\cos x$:
$$
2\cos^2x-\cos x-1=0;\qquad2t^2-t-1=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=2$, $B=-1$, $C=-1$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-1)^2-4\cdot(2)\cdot(-1)=1+8=9.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{9}=3,\qquad 3^2=3\cdot3=9.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{1+3}{4}=1;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{1-3}{4}=-\frac12.
$$
Оба корня допустимы для косинуса:
$$
\cos x=1\quad\text{или}\quad\cos x=-\frac12.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Координата по горизонтали равна $1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$.
$$
x=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\cos x=-\frac12$ нужна горизонтальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=2\pi n$.
$$
-\frac{9\pi}{2}\le 2\pi n\le -3\pi;\qquad -\frac{9}{2}\le 0+2n\le -3.
$$
$$
-\frac{9}{2}-(0)\le 2n\le -3-(0);\qquad -\frac{9}{4}\le n\le -\frac{3}{2}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-2$. Подставим каждое:
$$
n=-2:\qquad x=0+2\pi\cdot(-2)=-4\pi.
$$
Серия 2: $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$.
$$
-\frac{9\pi}{2}\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n\le -3\pi;\qquad -\frac{9}{2}\le \frac{2}{3}+2n\le -3.
$$
$$
-\frac{9}{2}-(\frac{2}{3})\le 2n\le -3-(\frac{2}{3});\qquad -\frac{31}{12}\le n\le -\frac{11}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-2$. Подставим каждое:
$$
n=-2:\qquad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot(-2)=-\frac{10\pi}{3}.
$$
Серия 3: $x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$.
$$
-\frac{9\pi}{2}\le -\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le -3\pi;\qquad -\frac{9}{2}\le -\frac{2}{3}+2n\le -3.
$$
$$
-\frac{9}{2}-(-\frac{2}{3})\le 2n\le -3-(-\frac{2}{3});\qquad -\frac{23}{12}\le n\le -\frac{7}{6}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-4\pi,\quad -\frac{10\pi}{3}.
$$