а) Решите уравнение $2\cos (x-\frac{\pi }{4})-2\sqrt{2}\sin (\frac{\pi }{2}+x)=0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{17\pi }{2}; -7\pi ].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac\pi4+\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $-\frac{31\pi}{4}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Раскроем косинус разности и синус суммы:
$$
2\cos(x-\pi/4)=2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos x+\frac{\sqrt2}{2}\sin x\right)=\sqrt2\cos x+\sqrt2\sin x;\quad\sin(\pi/2+x)=\cos x.
$$
Подставим, приведём подобные слагаемые и разделим на ненулевое $\sqrt2$:
$$
\sqrt2\cos x+\sqrt2\sin x-2\sqrt2\cos x=0;\quad\sqrt2(\sin x-\cos x)=0;\quad\sin x-\cos x=0.
$$
Используем формулу синуса разности в обратную сторону:
$$
\sin(x-\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2}(\sin x-\cos x)=0;\quad x-\pi/4=\pi n;\quad x=\pi/4+\pi n.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Синус разности обнуляется при целых кратных $\pi$, поэтому:
$$
x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{4}+\pi n$.
$$
-\frac{17\pi}{2}\le \frac{\pi}{4}+\pi n\le -7\pi;\qquad -\frac{17}{2}\le \frac{1}{4}+1n\le -7.
$$
$$
-\frac{17}{2}-(\frac{1}{4})\le 1n\le -7-(\frac{1}{4});\qquad -\frac{35}{4}\le n\le -\frac{29}{4}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-8$. Подставим каждое:
$$
n=-8:\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi\cdot(-8)=-\frac{31\pi}{4}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-\frac{31\pi}{4}.
$$