а) Решите уравнение
$2-2\cos (\pi -2x)+\sqrt{8}\cos x=\sqrt{6}+\sqrt{12}\cos x.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi ; \frac{9\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\pm\frac{3\pi}4+2\pi n$ или $x=\pm\frac\pi6+2\pi n$; б) $\frac{13\pi}4$, $\frac{23\pi}6$, $\frac{25\pi}6$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Формула разности с полуоборотом даёт:
$$
\cos(\pi-2x)=-\cos2x;\quad\sqrt8=2\sqrt2;\quad\sqrt{12}=2\sqrt3.
$$
Подставим и раскроем двойной угол через косинус:
$$
2+2(2\cos^2x-1)+2\sqrt2\cos x=\sqrt6+2\sqrt3\cos x;\quad2+4\cos^2x-2+(2\sqrt2-2\sqrt3)\cos x-\sqrt6=0.
$$
Обозначим $t=\cos x$, $-1\le t\le1$:
$$
4t^2+(2\sqrt2-2\sqrt3)t-\sqrt6=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=4$, $B=2\sqrt2-2\sqrt3$, $C=-\sqrt6$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(2\sqrt2-2\sqrt3)^2-4\cdot(4)\cdot(-\sqrt6)=(8-8\sqrt6+12)+16\sqrt6=20+8\sqrt6.
$$
Для извлечения корня проверим квадрат положительного выражения:
$$
(2\sqrt2+2\sqrt3)^2=8+8\sqrt6+12=20+8\sqrt6;\quad\sqrt D=2\sqrt2+2\sqrt3.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-2\sqrt2+2\sqrt3+(2\sqrt2+2\sqrt3)}8=\frac{4\sqrt3}{8}=\frac{\sqrt3}{2};
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-2\sqrt2+2\sqrt3-(2\sqrt2+2\sqrt3)}8=\frac{-4\sqrt2}{8}=-\frac{\sqrt2}{2}.
$$
Оба корня лежат между −1 и 1. Возвращаемся: $\cos x=\sqrt3/2$ или $\cos x=-\sqrt2/2$.
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}$ нужна горизонтальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
3\pi\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le \frac{1}{6}+2n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(\frac{1}{6})\le 2n\le \frac{9}{2}-(\frac{1}{6});\qquad \frac{17}{12}\le n\le \frac{13}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(2)=\frac{25\pi}{6}.
$$
Серия 2: $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
3\pi\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le -\frac{1}{6}+2n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(-\frac{1}{6})\le 2n\le \frac{9}{2}-(-\frac{1}{6});\qquad \frac{19}{12}\le n\le \frac{7}{3}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(2)=\frac{23\pi}{6}.
$$
Серия 3: $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$.
$$
3\pi\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le \frac{3}{4}+2n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(\frac{3}{4})\le 2n\le \frac{9}{2}-(\frac{3}{4});\qquad \frac{9}{8}\le n\le \frac{15}{8}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.
Серия 4: $x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n$.
$$
3\pi\le -\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le -\frac{3}{4}+2n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(-\frac{3}{4})\le 2n\le \frac{9}{2}-(-\frac{3}{4});\qquad \frac{15}{8}\le n\le \frac{21}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi\cdot(2)=\frac{13\pi}{4}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{13\pi}{4},\quad \frac{23\pi}{6},\quad \frac{25\pi}{6}.
$$