ФИПИ 89582D — Тригонометрические уравнения

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности: $$ \sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v. $$ В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Раскроем косинус разности и синус разности: $$ 4\cos(x-\pi/4)=2\sqrt2\cos x+2\sqrt2\sin x;\quad\sin(3\pi/2-x)=(-1)\cos x-0\cdot\sin x=-\cos x. $$ Подставим; косинусы сокращаются: $$ 2\sqrt2\cos x+2\sqrt2\sin x-2\sqrt2\cos x=\sqrt6;\quad2\sqrt2\sin x=\sqrt6. $$ Разделим на положительную константу и упростим корни: $$ \sin x=\frac{\sqrt6}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt{2\cdot3}}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2\sqrt3}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt3}{2}. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Для $\sin x=\frac{\sqrt3}{2}$ нужна вертикальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$. $$ 4\pi\le \frac{\pi}{3}+2\pi n\le \frac{11\pi}{2};\qquad 4\le \frac{1}{3}+2n\le \frac{11}{2}. $$ $$ 4-(\frac{1}{3})\le 2n\le \frac{11}{2}-(\frac{1}{3});\qquad \frac{11}{6}\le n\le \frac{31}{12}. $$ Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое: $$ n=2:\qquad x=\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot(2)=\frac{13\pi}{3}. $$ Серия 2: $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$. $$ 4\pi\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n\le \frac{11\pi}{2};\qquad 4\le \frac{2}{3}+2n\le \frac{11}{2}. $$ $$ 4-(\frac{2}{3})\le 2n\le \frac{11}{2}-(\frac{2}{3});\qquad \frac{5}{3}\le n\le \frac{29}{12}. $$ Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое: $$ n=2:\qquad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot(2)=\frac{14\pi}{3}. $$ Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=\frac{13\pi}{3},\quad \frac{14\pi}{3}. $$