а) Решите уравнение $2\sin (x+\frac{\pi }{3})+2\sin (\pi +x)=0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[5\pi ; \frac{13\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac{\pi}{3}+\pi n$; б) $\frac{16 \pi}{3}$, $\frac{19 \pi}{3}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Подставим формулы суммы:
$$
2\sin(x+\pi/3)=\sin x+\sqrt3\cos x;\quad2\sin(\pi+x)=-2\sin x.
$$
Соберём одинаковые слагаемые:
$$
\sin x+\sqrt3\cos x-2\sin x=0;\quad\sqrt3\cos x-\sin x=0.
$$
По формуле разности:
$$
2\sin(x-\pi/3)=\sin x-\sqrt3\cos x;\quad-2\sin(x-\pi/3)=0;\quad x-\pi/3=\pi n;\quad x=\pi/3+\pi n.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Синус разности равен нулю при $x-\pi/3=\pi n$.
$$
x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+\pi n$.
$$
5\pi\le \frac{\pi}{3}+\pi n\le \frac{13\pi}{2};\qquad 5\le \frac{1}{3}+1n\le \frac{13}{2}.
$$
$$
5-(\frac{1}{3})\le 1n\le \frac{13}{2}-(\frac{1}{3});\qquad \frac{14}{3}\le n\le \frac{37}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=5,6$. Подставим каждое:
$$
n=5:\qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(5)=\frac{16\pi}{3}.
$$
$$
n=6:\qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(6)=\frac{19\pi}{3}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{16\pi}{3},\quad \frac{19\pi}{3}.
$$