ФИПИ 9D14AA — Тригонометрические уравнения

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. На единичной окружности углы $x$ и $-x$ симметричны относительно горизонтальной оси: горизонтальная координата сохраняется, вертикальная меняет знак. Поэтому $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах: $$ \sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x; $$ $$ \cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x. $$ В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Подставим чётность и нечётность функций: $$ 2\sin x\cos x+\sin x+2\cos x+1=0. $$ Сгруппируем попарно и вынесем общую скобку: $$ \sin x(2\cos x+1)+(2\cos x+1)=0;\quad(\sin x+1)(2\cos x+1)=0. $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай. $$ \sin x+1=0\quad\text{или}\quad2\cos x+1=0;\quad\sin x=-1\quad\text{или}\quad\cos x=-\frac12. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Координата по вертикали равна $-1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$. $$ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Для $\cos x=-\frac12$ нужна горизонтальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$. $$ \frac{3\pi}{2}\le -\frac{\pi}{2}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{1}{2}+2n\le 3. $$ $$ \frac{3}{2}-(-\frac{1}{2})\le 2n\le 3-(-\frac{1}{2});\qquad 1\le n\le \frac{7}{4}. $$ Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое: $$ n=1:\qquad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot(1)=\frac{3\pi}{2}. $$ Серия 2: $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$. $$ \frac{3\pi}{2}\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le \frac{2}{3}+2n\le 3. $$ $$ \frac{3}{2}-(\frac{2}{3})\le 2n\le 3-(\frac{2}{3});\qquad \frac{5}{12}\le n\le \frac{7}{6}. $$ Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое: $$ n=1:\qquad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot(1)=\frac{8\pi}{3}. $$ Серия 3: $x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$. $$ \frac{3\pi}{2}\le -\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{2}{3}+2n\le 3. $$ $$ \frac{3}{2}-(-\frac{2}{3})\le 2n\le 3-(-\frac{2}{3});\qquad \frac{13}{12}\le n\le \frac{11}{6}. $$ Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=\frac{3\pi}{2},\quad \frac{8\pi}{3}. $$