а) Решите уравнение
$2{\cos }^{2}x+3\sin (x+\pi )-3=0.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi ; \frac{7\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac{7 \pi}{6}+2 \pi n$ или $x=\frac{3 \pi}{2}+2 \pi n$ или $x=\frac{11 \pi}{6}+2 \pi n$; б) $\frac{19 \pi}{6}$, $\frac{7 \pi}{2}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Полуоборот меняет знак синуса, а квадрат косинуса равен $1-\sin^2x$:
$$
\sin(x+\pi)=-\sin x;\quad2(1-\sin^2x)-3\sin x-3=0.
$$
Раскроем скобки, приведём подобные, умножим на −1 и введём $t=\sin x$:
$$
2-2\sin^2x-3\sin x-3=0;\quad-2\sin^2x-3\sin x-1=0;\quad2t^2+3t+1=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=2$, $B=3$, $C=1$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(3)^2-4\cdot(2)\cdot(1)=9-8=1.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{1}=1,\qquad 1^2=1\cdot1=1.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-3+1}{4}=-\frac12;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-3-1}{4}=-1.
$$
Оба корня лежат между −1 и 1: $\sin x=-1/2$ или $\sin x=-1$.
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\sin x=-\frac12$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Координата по вертикали равна $-1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$.
$$
x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
2\pi\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le -\frac{1}{6}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(-\frac{1}{6})\le 2n\le \frac{7}{2}-(-\frac{1}{6});\qquad \frac{13}{12}\le n\le \frac{11}{6}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.
Серия 2: $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
$$
2\pi\le -\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le -\frac{5}{6}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(-\frac{5}{6})\le 2n\le \frac{7}{2}-(-\frac{5}{6});\qquad \frac{17}{12}\le n\le \frac{13}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi\cdot(2)=\frac{19\pi}{6}.
$$
Серия 3: $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$.
$$
2\pi\le -\frac{\pi}{2}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le -\frac{1}{2}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(-\frac{1}{2})\le 2n\le \frac{7}{2}-(-\frac{1}{2});\qquad \frac{5}{4}\le n\le 2.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot(2)=\frac{7\pi}{2}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{19\pi}{6},\quad \frac{7\pi}{2}.
$$