а) Решите уравнение
$\sqrt{3}{\operatorname{tg}}^{2}x-4\operatorname{tg}x+\sqrt{3}=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi ; \frac{5\pi }{2}]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac{\pi}{6}+\pi n$ или $x=\frac{\pi}{3}+\pi n$; б) $\frac{7 \pi}{6}$, $\frac{4 \pi}{3}$, $\frac{13 \pi}{6}$, $\frac{7 \pi}{3}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Тангенс — отношение синуса к косинусу, поэтому сначала нужно $\cos x\ne0$. Положим $t=\tan x$:
$$
\sqrt3t^2-4t+\sqrt3=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=\sqrt3$, $B=-4$, $C=\sqrt3$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-4)^2-4\cdot(\sqrt3)\cdot(\sqrt3)=16-4\cdot3=16-12=4.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{4}=2,\qquad 2^2=2\cdot2=4.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{4+2}{2\sqrt3}=\frac6{2\sqrt3}=\frac3{\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{4-2}{2\sqrt3}=\frac2{2\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.
$$
По значениям сторон треугольников:
$$
\tan(\pi/3)=\frac{\sqrt3/2}{1/2}=\sqrt3;\qquad\tan(\pi/6)=\frac{1/2}{\sqrt3/2}=\frac1{\sqrt3}.
$$
При добавлении $\pi$ синус и косинус оба меняют знак, их отношение сохраняется. Тангенс определяет наклон луча, поэтому углы с одним наклоном отличаются на целое число полуоборотов. Получаем:
$$
x=\pi/3+\pi n\quad\text{или}\quad x=\pi/6+\pi n.
$$
Косинусы этих углов равны по модулю $1/2$ или $\sqrt3/2$, оба ненулевые. Область определения соблюдена.
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Из $\tan x=\sqrt3$:
$$
x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Из $\tan x=1/\sqrt3$:
$$
x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{3}+\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+\pi n$.
$$
\pi\le \frac{\pi}{3}+\pi n\le \frac{5\pi}{2};\qquad 1\le \frac{1}{3}+1n\le \frac{5}{2}.
$$
$$
1-(\frac{1}{3})\le 1n\le \frac{5}{2}-(\frac{1}{3});\qquad \frac{2}{3}\le n\le \frac{13}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1,2$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(1)=\frac{4\pi}{3}.
$$
$$
n=2:\qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(2)=\frac{7\pi}{3}.
$$
Серия 2: $x=\frac{\pi}{6}+\pi n$.
$$
\pi\le \frac{\pi}{6}+\pi n\le \frac{5\pi}{2};\qquad 1\le \frac{1}{6}+1n\le \frac{5}{2}.
$$
$$
1-(\frac{1}{6})\le 1n\le \frac{5}{2}-(\frac{1}{6});\qquad \frac{5}{6}\le n\le \frac{7}{3}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1,2$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=\frac{\pi}{6}+\pi\cdot(1)=\frac{7\pi}{6}.
$$
$$
n=2:\qquad x=\frac{\pi}{6}+\pi\cdot(2)=\frac{13\pi}{6}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{7\pi}{6},\quad \frac{4\pi}{3},\quad \frac{13\pi}{6},\quad \frac{7\pi}{3}.
$$