а) Решите уравнение ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}(x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[5\pi ; 6\pi ].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac\pi4+\pi n$ или $x=\frac\pi2+\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $\frac{21\pi}4$, $\frac{11\pi}2$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Из формул двойного угла выразим квадраты, прибавляя/вычитая 1 и деля на 2:
$$
\cos2t=2\cos^2t-1\ \Longrightarrow\ \cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2};\quad\cos2t=1-2\sin^2t\ \Longrightarrow\ \sin^2t=\frac{1-\cos2t}{2}.
$$
Для $t=x-\pi/4$ двойной угол равен $2x-\pi/2$. Вычислим его косинус:
$$
\cos(2x-\pi/2)=\cos2x\cdot0+\sin2x\cdot1=\sin2x;\quad\sin^2(x-\pi/4)=\frac{1-\sin2x}{2}.
$$
Подставим в исходное равенство и умножим на 2:
$$
\frac{1+\cos2x}{2}+\frac{1-\sin2x}{2}=\frac12;\quad2+\cos2x-\sin2x=1;\quad\cos2x-\sin2x=-1.
$$
Свернём разность в косинус суммы:
$$
\sqrt2\cos(2x+\pi/4)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos2x-\frac{\sqrt2}{2}\sin2x\right)=\cos2x-\sin2x.
$$
Разделим на ненулевое $\sqrt2$ и упростим:
$$
\cos(2x+\pi/4)=-\frac1{\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2}.
$$
Угол с этим косинусом в одном обороте равен $3\pi/4$ или $5\pi/4$. К каждому добавляем $2\pi n$, затем вычитаем $\pi/4$ и делим на 2:
$$
2x+\pi/4=3\pi/4+2\pi n\ \Longrightarrow\ 2x=\pi/2+2\pi n\ \Longrightarrow\ x=\pi/4+\pi n;
$$
Во второй серии:
$$
2x+\pi/4=5\pi/4+2\pi n\ \Longrightarrow\ 2x=\pi+2\pi n\ \Longrightarrow\ x=\pi/2+\pi n.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Первая серия получена из угла $3\pi/4$.
$$
x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Вторая — из угла $5\pi/4$.
$$
x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{4}+\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{4}+\pi n$.
$$
5\pi\le \frac{\pi}{4}+\pi n\le 6\pi;\qquad 5\le \frac{1}{4}+1n\le 6.
$$
$$
5-(\frac{1}{4})\le 1n\le 6-(\frac{1}{4});\qquad \frac{19}{4}\le n\le \frac{23}{4}.
$$
Подходящие целые значения: $n=5$. Подставим каждое:
$$
n=5:\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi\cdot(5)=\frac{21\pi}{4}.
$$
Серия 2: $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$.
$$
5\pi\le \frac{\pi}{2}+\pi n\le 6\pi;\qquad 5\le \frac{1}{2}+1n\le 6.
$$
$$
5-(\frac{1}{2})\le 1n\le 6-(\frac{1}{2});\qquad \frac{9}{2}\le n\le \frac{11}{2}.
$$
Подходящие целые значения: $n=5$. Подставим каждое:
$$
n=5:\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot(5)=\frac{11\pi}{2}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{21\pi}{4},\quad \frac{11\pi}{2}.
$$