а) Решите уравнение
$2\cos x-2\sqrt{3}\cos (-x)-4{\sin }^{2}x=\sqrt{3}-4.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi ; \frac{7\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) x = ±2π/3 + 2πk или x = ±π/6 + 2πk, k ∈ Z; б) 13π/6, 8π/3, 10π/3
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. На единичной окружности углы $x$ и $-x$ симметричны относительно горизонтальной оси: горизонтальная координата сохраняется, вертикальная меняет знак. Поэтому $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$.Из $\sin^2x+\cos^2x=1$ выразим $\sin^2x=1-\cos^2x$. Сведём уравнение к косинусу:
$$
2\cos x-2\sqrt3\cos x-4(1-\cos^2x)=\sqrt3-4.
$$
Раскроем скобки и перенесём правую часть влево:
$$
2\cos x-2\sqrt3\cos x-4+4\cos^2x-\sqrt3+4=0;\qquad4\cos^2x+(2-2\sqrt3)\cos x-\sqrt3=0.
$$
Положим $t=\cos x$, где $-1\le t\le1$:
$$
4t^2+(2-2\sqrt3)t-\sqrt3=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=4$, $B=2-2\sqrt3$, $C=-\sqrt3$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(2-2\sqrt3)^2-4\cdot(4)\cdot(-\sqrt3)=(4-8\sqrt3+12)+16\sqrt3=16+8\sqrt3.
$$
Корень из дискриминанта упростим явной проверкой:
$$
(2+2\sqrt3)^2=4+8\sqrt3+12=16+8\sqrt3;\qquad\sqrt D=2+2\sqrt3.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-2+2\sqrt3+(2+2\sqrt3)}8=\frac{4\sqrt3}{8}=\frac{\sqrt3}{2};
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-2+2\sqrt3-(2+2\sqrt3)}8=\frac{-4}{8}=-\frac12.
$$
Оба корня допустимы для косинуса:
$$
\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\quad\text{или}\quad\cos x=-\frac12.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\cos x=-\frac12$ нужна горизонтальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
2\pi\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le \frac{1}{6}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(\frac{1}{6})\le 2n\le \frac{7}{2}-(\frac{1}{6});\qquad \frac{11}{12}\le n\le \frac{5}{3}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(1)=\frac{13\pi}{6}.
$$
Серия 2: $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
2\pi\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le -\frac{1}{6}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(-\frac{1}{6})\le 2n\le \frac{7}{2}-(-\frac{1}{6});\qquad \frac{13}{12}\le n\le \frac{11}{6}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.
Серия 3: $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$.
$$
2\pi\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le \frac{2}{3}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(\frac{2}{3})\le 2n\le \frac{7}{2}-(\frac{2}{3});\qquad \frac{2}{3}\le n\le \frac{17}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot(1)=\frac{8\pi}{3}.
$$
Серия 4: $x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$.
$$
2\pi\le -\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le -\frac{2}{3}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(-\frac{2}{3})\le 2n\le \frac{7}{2}-(-\frac{2}{3});\qquad \frac{4}{3}\le n\le \frac{25}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot(2)=\frac{10\pi}{3}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{13\pi}{6},\quad \frac{8\pi}{3},\quad \frac{10\pi}{3}.
$$