а) Решите уравнение
$2{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin (2\pi -x)+\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{6}\cos x.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\pi ; \frac{\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac\pi4+2\pi n$, $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$ или $x=-\frac\pi3+\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $-\frac\pi3$, $\frac\pi4$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.У $2\pi$ синус 0, косинус 1. Поэтому:
$$
\sin(2\pi-x)=0\cdot\cos x-1\cdot\sin x=-\sin x.
$$
Перенесём правую часть влево и раскроем двойной угол:
$$
2\sin^2x-\sqrt2\sin x+2\sqrt3\sin x\cos x-\sqrt6\cos x=0.
$$
Вынесем множители из пар слагаемых; $\sqrt6=\sqrt3\sqrt2$:
$$
\sin x(2\sin x-\sqrt2)+\sqrt3\cos x(2\sin x-\sqrt2)=0;\qquad(2\sin x-\sqrt2)(\sin x+\sqrt3\cos x)=0.
$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай.
$$
\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\quad\text{или}\quad\sin x+\sqrt3\cos x=0.
$$
Для второго случая применим ту же формулу суммы в обратную сторону:
$$
2\sin(x+\pi/3)=2(\sin x\cdot\tfrac12+\cos x\cdot\tfrac{\sqrt3}{2})=\sin x+\sqrt3\cos x.
$$
Следовательно, второй множитель равен нулю, когда:
$$
2\sin(x+\pi/3)=0;\qquad\sin(x+\pi/3)=0;\qquad x+\pi/3=\pi n;\qquad x=-\pi/3+\pi n.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$ нужна вертикальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Синус равен нулю при целых кратных $\pi$; сдвиг переносим в другую часть равенства.
$$
x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
-\pi\le \frac{\pi}{4}+2\pi n\le \frac{\pi}{2};\qquad -1\le \frac{1}{4}+2n\le \frac{1}{2}.
$$
$$
-1-(\frac{1}{4})\le 2n\le \frac{1}{2}-(\frac{1}{4});\qquad -\frac{5}{8}\le n\le \frac{1}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=0$. Подставим каждое:
$$
n=0:\qquad x=\frac{\pi}{4}+2\pi\cdot(0)=\frac{\pi}{4}.
$$
Серия 2: $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$.
$$
-\pi\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n\le \frac{\pi}{2};\qquad -1\le \frac{3}{4}+2n\le \frac{1}{2}.
$$
$$
-1-(\frac{3}{4})\le 2n\le \frac{1}{2}-(\frac{3}{4});\qquad -\frac{7}{8}\le n\le -\frac{1}{8}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.
Серия 3: $x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$.
$$
-\pi\le -\frac{\pi}{3}+\pi n\le \frac{\pi}{2};\qquad -1\le -\frac{1}{3}+1n\le \frac{1}{2}.
$$
$$
-1-(-\frac{1}{3})\le 1n\le \frac{1}{2}-(-\frac{1}{3});\qquad -\frac{2}{3}\le n\le \frac{5}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=0$. Подставим каждое:
$$
n=0:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(0)=-\frac{\pi}{3}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-\frac{\pi}{3},\quad \frac{\pi}{4}.
$$