а) Решите уравнение
$\cos 2x-\sqrt{2}\cos (\frac{3\pi }{2}+x)-1=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi }{2}; 3\pi ]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) x = πk или x = 5π/4 + 2πk или x = 7π/4 + 2πk, k ∈ Z; б) 7π/4, 2π, 3π
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.У угла $3\pi/2$ синус равен −1, косинус — 0. Поэтому:
$$
\cos(3\pi/2+x)=0\cdot\cos x-(-1)\sin x=\sin x.
$$
Подставим это и запись двойного угла через синус:
$$
1-2\sin^2x-\sqrt2\sin x-1=0;\qquad-2\sin^2x-\sqrt2\sin x=0.
$$
Умножим обе части на −1 и вынесем общий синус:
$$
2\sin^2x+\sqrt2\sin x=0;\qquad\sin x(2\sin x+\sqrt2)=0.
$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай.
$$
\sin x=0\quad\text{или}\quad2\sin x+\sqrt2=0;\qquad\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Синус равен нулю на горизонтальной оси окружности: углы 0 и $\pi$, затем они повторяются через $\pi$.
$$
x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le \pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le 0+1n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(0)\le 1n\le 3-(0);\qquad \frac{3}{2}\le n\le 3.
$$
Подходящие целые значения: $n=2,3$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=0+\pi\cdot(2)=2\pi.
$$
$$
n=3:\qquad x=0+\pi\cdot(3)=3\pi.
$$
Серия 2: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{1}{4}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(-\frac{1}{4})\le 2n\le 3-(-\frac{1}{4});\qquad \frac{7}{8}\le n\le \frac{13}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi\cdot(1)=\frac{7\pi}{4}.
$$
Серия 3: $x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le -\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{3}{4}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(-\frac{3}{4})\le 2n\le 3-(-\frac{3}{4});\qquad \frac{9}{8}\le n\le \frac{15}{8}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{7\pi}{4},\quad 2\pi,\quad 3\pi.
$$