а) Решите уравнение $2\sin (x-\frac{\pi }{6})-2\sqrt{3}\cos (\frac{\pi }{2}-x)=0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- 6\pi ; -\frac{9\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=- \frac{\pi}{6}+\pi n$; б) $- \frac{31 \pi}{6}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Раскроем синус разности и косинус разности:
$$
2\sin(x-\pi/6)=\sqrt3\sin x-\cos x;\quad\cos(\pi/2-x)=\sin x.
$$
Подставим и приведём подобные слагаемые:
$$
\sqrt3\sin x-\cos x-2\sqrt3\sin x=0;\quad-\sqrt3\sin x-\cos x=0.
$$
Выразим левую часть через синус суммы:
$$
2\sin(x+\pi/6)=\sqrt3\sin x+\cos x;\quad-2\sin(x+\pi/6)=0;\quad x+\pi/6=\pi n;\quad x=-\pi/6+\pi n.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Синус суммы равен нулю при аргументе $\pi n$.
$$
x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$.
$$
-6\pi\le -\frac{\pi}{6}+\pi n\le -\frac{9\pi}{2};\qquad -6\le -\frac{1}{6}+1n\le -\frac{9}{2}.
$$
$$
-6-(-\frac{1}{6})\le 1n\le -\frac{9}{2}-(-\frac{1}{6});\qquad -\frac{35}{6}\le n\le -\frac{13}{3}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-5$. Подставим каждое:
$$
n=-5:\qquad x=-\frac{\pi}{6}+\pi\cdot(-5)=-\frac{31\pi}{6}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-\frac{31\pi}{6}.
$$