ФИПИ DCD2BC — Тригонометрические уравнения

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Перенесём правую часть влево. Из тождества Пифагора заменим $\sin^2x=1-\cos^2x$: $$ 2\cos x-\sqrt3(1-\cos^2x)-2\cos^3x=0. $$ Раскроем скобки и сгруппируем: $$ 2\cos x-2\cos^3x-\sqrt3+\sqrt3\cos^2x=0;\quad2\cos x(1-\cos^2x)-\sqrt3(1-\cos^2x)=0. $$ Вынесем общую скобку и вернём квадрат синуса: $$ (1-\cos^2x)(2\cos x-\sqrt3)=0;\quad\sin^2x(2\cos x-\sqrt3)=0. $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай. Квадрат равен нулю только при нулевом основании. $$ \sin^2x=0\quad\text{или}\quad2\cos x=\sqrt3;\qquad\sin x=0\quad\text{или}\quad\cos x=\frac{\sqrt3}{2}. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Синус равен нулю на горизонтальной оси окружности: углы 0 и $\pi$, затем они повторяются через $\pi$. $$ x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Для $\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\pi n$. $$ -\frac{7\pi}{2}\le \pi n\le -2\pi;\qquad -\frac{7}{2}\le 0+1n\le -2. $$ $$ -\frac{7}{2}-(0)\le 1n\le -2-(0);\qquad -\frac{7}{2}\le n\le -2. $$ Подходящие целые значения: $n=-3,-2$. Подставим каждое: $$ n=-3:\qquad x=0+\pi\cdot(-3)=-3\pi. $$ $$ n=-2:\qquad x=0+\pi\cdot(-2)=-2\pi. $$ Серия 2: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$. $$ -\frac{7\pi}{2}\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le -2\pi;\qquad -\frac{7}{2}\le \frac{1}{6}+2n\le -2. $$ $$ -\frac{7}{2}-(\frac{1}{6})\le 2n\le -2-(\frac{1}{6});\qquad -\frac{11}{6}\le n\le -\frac{13}{12}. $$ Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке. Серия 3: $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$. $$ -\frac{7\pi}{2}\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le -2\pi;\qquad -\frac{7}{2}\le -\frac{1}{6}+2n\le -2. $$ $$ -\frac{7}{2}-(-\frac{1}{6})\le 2n\le -2-(-\frac{1}{6});\qquad -\frac{5}{3}\le n\le -\frac{11}{12}. $$ Подходящие целые значения: $n=-1$. Подставим каждое: $$ n=-1:\qquad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(-1)=-\frac{13\pi}{6}. $$ Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=-3\pi,\quad -\frac{13\pi}{6},\quad -2\pi. $$