ФИПИ 8A88E1 — Тригонометрические уравнения

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности: $$ \sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v. $$ В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Разложим синус суммы: $$ \sqrt2\sin(x+\pi/4)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=\sin x+\cos x. $$ Подставим и вычтем косинус из обеих частей: $$ 2\sin^2x+\sin x+\cos x=\cos x;\quad2\sin^2x+\sin x=0;\quad\sin x(2\sin x+1)=0. $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай. $$ \sin x=0\quad\text{или}\quad2\sin x=-1;\quad\sin x=-\frac12. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Синус равен нулю на горизонтальной оси окружности: углы 0 и $\pi$, затем они повторяются через $\pi$. $$ x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Для $\sin x=-\frac12$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\pi n$. $$ -2\pi\le \pi n\le -\frac{\pi}{2};\qquad -2\le 0+1n\le -\frac{1}{2}. $$ $$ -2-(0)\le 1n\le -\frac{1}{2}-(0);\qquad -2\le n\le -\frac{1}{2}. $$ Подходящие целые значения: $n=-2,-1$. Подставим каждое: $$ n=-2:\qquad x=0+\pi\cdot(-2)=-2\pi. $$ $$ n=-1:\qquad x=0+\pi\cdot(-1)=-\pi. $$ Серия 2: $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$. $$ -2\pi\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le -\frac{\pi}{2};\qquad -2\le -\frac{1}{6}+2n\le -\frac{1}{2}. $$ $$ -2-(-\frac{1}{6})\le 2n\le -\frac{1}{2}-(-\frac{1}{6});\qquad -\frac{11}{12}\le n\le -\frac{1}{6}. $$ Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке. Серия 3: $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$. $$ -2\pi\le -\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le -\frac{\pi}{2};\qquad -2\le -\frac{5}{6}+2n\le -\frac{1}{2}. $$ $$ -2-(-\frac{5}{6})\le 2n\le -\frac{1}{2}-(-\frac{5}{6});\qquad -\frac{7}{12}\le n\le \frac{1}{6}. $$ Подходящие целые значения: $n=0$. Подставим каждое: $$ n=0:\qquad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi\cdot(0)=-\frac{5\pi}{6}. $$ Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=-2\pi,\quad -\pi,\quad -\frac{5\pi}{6}. $$