а) Решите уравнение $\sin 2x+2\sqrt{2}\cos (x-\frac{\pi }{4})+1=0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{15\pi }{2}; -6\pi ].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=- \frac{\pi}{4}+\pi n$; б) $- \frac{29 \pi}{4}$, $- \frac{25 \pi}{4}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.В уравнении встречаются сумма синуса с косинусом и их произведение. Введём $u=\sin x+\cos x$ и раскроем квадрат:
$$
u^2=(\sin x+\cos x)^2=\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=1+\sin2x;\quad\sin2x=u^2-1.
$$
Второе слагаемое также выражается через $u$:
$$
2\sqrt2\cos(x-\pi/4)=2\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos x+\frac{\sqrt2}{2}\sin x\right)=2(\cos x+\sin x)=2u.
$$
Подставим и вынесем общий множитель:
$$
(u^2-1)+2u+1=0;\quad u^2+2u=0;\quad u(u+2)=0;\quad u=0\quad\text{или}\quad u=-2.
$$
Проверим возможность $u=-2$. Из формулы суммы:
$$
\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\pi/4);\quad|u|\le\sqrt2<2.
$$
Следовательно, $u=-2$ невозможно. Остаётся:
$$
\sin x+\cos x=0;\quad\sin(x+\pi/4)=0;\quad x+\pi/4=\pi n;\quad x=-\pi/4+\pi n.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Из единственного допустимого значения $u=0$ получена серия:
$$
x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$.
$$
-\frac{15\pi}{2}\le -\frac{\pi}{4}+\pi n\le -6\pi;\qquad -\frac{15}{2}\le -\frac{1}{4}+1n\le -6.
$$
$$
-\frac{15}{2}-(-\frac{1}{4})\le 1n\le -6-(-\frac{1}{4});\qquad -\frac{29}{4}\le n\le -\frac{23}{4}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-7,-6$. Подставим каждое:
$$
n=-7:\qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi\cdot(-7)=-\frac{29\pi}{4}.
$$
$$
n=-6:\qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi\cdot(-6)=-\frac{25\pi}{4}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-\frac{29\pi}{4},\quad -\frac{25\pi}{4}.
$$