а) Решите уравнение
$2{\cos }^{3}x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x+2\cos x+\sqrt{3}=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- 2\pi ; -\frac{\pi }{2}]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\pm\frac{5\pi}6+2\pi n$; б) $-\frac{7\pi}6$, $-\frac{5\pi}6$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Здесь степени косинуса нечётные и чётные. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:
$$
(2\cos^3x+\sqrt3\cos^2x)+(2\cos x+\sqrt3)=0.
$$
Вынесем $\cos^2x$ из первой группы, затем общую скобку:
$$
\cos^2x(2\cos x+\sqrt3)+1\cdot(2\cos x+\sqrt3)=0;\quad(\cos^2x+1)(2\cos x+\sqrt3)=0.
$$
Квадрат неотрицателен, поэтому первый множитель $\cos^2x+1\ge1$ не обращается в нуль. Должен обнулиться второй:
$$
2\cos x+\sqrt3=0;\quad2\cos x=-\sqrt3;\quad\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}$ нужна горизонтальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
$$
-2\pi\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n\le -\frac{\pi}{2};\qquad -2\le \frac{5}{6}+2n\le -\frac{1}{2}.
$$
$$
-2-(\frac{5}{6})\le 2n\le -\frac{1}{2}-(\frac{5}{6});\qquad -\frac{17}{12}\le n\le -\frac{2}{3}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-1$. Подставим каждое:
$$
n=-1:\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi\cdot(-1)=-\frac{7\pi}{6}.
$$
Серия 2: $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
$$
-2\pi\le -\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le -\frac{\pi}{2};\qquad -2\le -\frac{5}{6}+2n\le -\frac{1}{2}.
$$
$$
-2-(-\frac{5}{6})\le 2n\le -\frac{1}{2}-(-\frac{5}{6});\qquad -\frac{7}{12}\le n\le \frac{1}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=0$. Подставим каждое:
$$
n=0:\qquad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi\cdot(0)=-\frac{5\pi}{6}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-\frac{7\pi}{6},\quad -\frac{5\pi}{6}.
$$