ФИПИ 889715 — Тригонометрические уравнения

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности: $$ \sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v. $$ В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Подставим формулы суммы и разности: $$ 2\sin(x+\pi/6)=\sqrt3\sin x+\cos x;\qquad\sin(\pi-x)=0\cdot\cos x-(-1)\sin x=\sin x. $$ Приведём подобные слагаемые: $$ \sqrt3\sin x+\cos x-2\sqrt3\sin x=0;\quad\cos x-\sqrt3\sin x=0. $$ Чтобы не делить на косинус, представим выражение через синус разности: $$ 2\sin(x-\pi/6)=\sqrt3\sin x-\cos x;\quad-2\sin(x-\pi/6)=0;\quad x-\pi/6=\pi n;\quad x=\pi/6+\pi n. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Синус равен нулю при аргументе $\pi n$. Поэтому серия: $$ x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\frac{\pi}{6}+\pi n$. $$ 7\pi\le \frac{\pi}{6}+\pi n\le \frac{17\pi}{2};\qquad 7\le \frac{1}{6}+1n\le \frac{17}{2}. $$ $$ 7-(\frac{1}{6})\le 1n\le \frac{17}{2}-(\frac{1}{6});\qquad \frac{41}{6}\le n\le \frac{25}{3}. $$ Подходящие целые значения: $n=7,8$. Подставим каждое: $$ n=7:\qquad x=\frac{\pi}{6}+\pi\cdot(7)=\frac{43\pi}{6}. $$ $$ n=8:\qquad x=\frac{\pi}{6}+\pi\cdot(8)=\frac{49\pi}{6}. $$ Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=\frac{43\pi}{6},\quad \frac{49\pi}{6}. $$