а) Решите уравнение
$1-\cos 2x+\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}-2\sin (x+\pi ).$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi ; -\frac{3\pi }{2}].$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac\pi2+2\pi n$, $x=-\frac\pi4+2\pi n$ или $x=-\frac{3\pi}4+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $-\frac{11\pi}4$, $-\frac{9\pi}4$, $-\frac{3\pi}2$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Подставим синус с полуоборотом и двойной угол:
$$
\sin(x+\pi)=-\sin x;\qquad2\sin^2x+\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}+2\sin x.
$$
Перенесём правую часть влево и положим $t=\sin x$:
$$
2\sin^2x+(\sqrt{2}-2)\sin x-\sqrt{2}=0;\quad2t^2+(\sqrt{2}-2)t-\sqrt{2}=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=2$, $B=\sqrt{2}-2$, $C=-\sqrt{2}$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(\sqrt{2}-2)^2-4\cdot(2)\cdot(-\sqrt{2})=(2-4\sqrt{2}+4)+8\sqrt{2}=6+4\sqrt{2}.
$$
Извлечём корень, проверив квадрат положительного числа:
$$
(2+\sqrt{2})^2=4+4\sqrt{2}+2=6+4\sqrt{2};\quad\sqrt D=2+\sqrt{2}.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{2-\sqrt{2}+(2+\sqrt{2})}4=\frac44=1;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{2-\sqrt{2}-(2+\sqrt{2})}4=\frac{-2\sqrt{2}}4=-\frac{\sqrt{2}}2.
$$
Оба значения допустимы, поэтому $\sin x=1$ или $\sin x=-\sqrt{2}/2$.
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Координата по вертикали равна $1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$.
$$
x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$.
$$
-3\pi\le \frac{\pi}{2}+2\pi n\le -\frac{3\pi}{2};\qquad -3\le \frac{1}{2}+2n\le -\frac{3}{2}.
$$
$$
-3-(\frac{1}{2})\le 2n\le -\frac{3}{2}-(\frac{1}{2});\qquad -\frac{7}{4}\le n\le -1.
$$
Подходящие целые значения: $n=-1$. Подставим каждое:
$$
n=-1:\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot(-1)=-\frac{3\pi}{2}.
$$
Серия 2: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
-3\pi\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n\le -\frac{3\pi}{2};\qquad -3\le -\frac{1}{4}+2n\le -\frac{3}{2}.
$$
$$
-3-(-\frac{1}{4})\le 2n\le -\frac{3}{2}-(-\frac{1}{4});\qquad -\frac{11}{8}\le n\le -\frac{5}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-1$. Подставим каждое:
$$
n=-1:\qquad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi\cdot(-1)=-\frac{9\pi}{4}.
$$
Серия 3: $x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n$.
$$
-3\pi\le -\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le -\frac{3\pi}{2};\qquad -3\le -\frac{3}{4}+2n\le -\frac{3}{2}.
$$
$$
-3-(-\frac{3}{4})\le 2n\le -\frac{3}{2}-(-\frac{3}{4});\qquad -\frac{9}{8}\le n\le -\frac{3}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-1$. Подставим каждое:
$$
n=-1:\qquad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi\cdot(-1)=-\frac{11\pi}{4}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-\frac{11\pi}{4},\quad -\frac{9\pi}{4},\quad -\frac{3\pi}{2}.
$$