а) Решите уравнение
$\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})+2{\sin }^{2}x=\sin x+2$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi ; \frac{7\pi }{2}]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac\pi2+\pi n$ или $x=\pm\frac\pi3+2\pi n$; б) $\frac{7\pi}3$, $\frac{5\pi}2$, $\frac{7\pi}2$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Раскроем синус суммы с $\pi/4$:
$$
\sqrt2\sin(x+\pi/4)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=\sin x+\cos x.
$$
Подставим, вычтем синус из обеих частей и перенесём 2:
$$
\sin x+\cos x+2\sin^2x=\sin x+2;\quad\cos x+2\sin^2x-2=0.
$$
Из $\sin^2x=1-\cos^2x$ получаем:
$$
\cos x+2(1-\cos^2x)-2=0;\quad\cos x+2-2\cos^2x-2=0;\quad\cos x(1-2\cos x)=0.
$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай.
$$
\cos x=0\quad\text{или}\quad1-2\cos x=0;\quad\cos x=\frac12.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: первый угол $\pi/2$, а соседний отличается на $\pi$.
$$
x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\cos x=\frac12$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{2}+\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$.
$$
2\pi\le \frac{\pi}{2}+\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le \frac{1}{2}+1n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(\frac{1}{2})\le 1n\le \frac{7}{2}-(\frac{1}{2});\qquad \frac{3}{2}\le n\le 3.
$$
Подходящие целые значения: $n=2,3$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot(2)=\frac{5\pi}{2}.
$$
$$
n=3:\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot(3)=\frac{7\pi}{2}.
$$
Серия 2: $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$.
$$
2\pi\le \frac{\pi}{3}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le \frac{1}{3}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(\frac{1}{3})\le 2n\le \frac{7}{2}-(\frac{1}{3});\qquad \frac{5}{6}\le n\le \frac{19}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot(1)=\frac{7\pi}{3}.
$$
Серия 3: $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$.
$$
2\pi\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le -\frac{1}{3}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(-\frac{1}{3})\le 2n\le \frac{7}{2}-(-\frac{1}{3});\qquad \frac{7}{6}\le n\le \frac{23}{12}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{7\pi}{3},\quad \frac{5\pi}{2},\quad \frac{7\pi}{2}.
$$