а) Решите уравнение
$9\cdot {81}^{\cos x}-28\cdot {9}^{\cos x}+3=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{5\pi }{2}; 4\pi ]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) x = ±π/3 + 2πk или x = π + 2πk, k ∈ Z; б) 3π, 11π/3
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Степени определены и положительны при любом $x$. Основание 81 равно $9^2$, поэтому удобно обозначить $t=9^{\cos x}>0$:
$$
81^{\cos x}=(9^2)^{\cos x}=9^{2\cos x}=(9^{\cos x})^2=t^2;\qquad9t^2-28t+3=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=9$, $B=-28$, $C=3$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-28)^2-4\cdot(9)\cdot(3)=784-108=676.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{676}=26,\qquad 26^2=26\cdot26=676.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{28+26}{18}=\frac{54}{18}=3;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{28-26}{18}=\frac2{18}=\frac19.
$$
Оба корня положительны. Представим их степенями того же основания. Функция $9^y$ строго возрастает, значит, равные степени имеют равные показатели:
$$
3=9^{1/2},\qquad\frac19=9^{-1};\qquad\cos x=\frac12\quad\text{или}\quad\cos x=-1.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\cos x=\frac12$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Координата по горизонтали равна $-1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$.
$$
x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$.
$$
\frac{5\pi}{2}\le \frac{\pi}{3}+2\pi n\le 4\pi;\qquad \frac{5}{2}\le \frac{1}{3}+2n\le 4.
$$
$$
\frac{5}{2}-(\frac{1}{3})\le 2n\le 4-(\frac{1}{3});\qquad \frac{13}{12}\le n\le \frac{11}{6}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.
Серия 2: $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$.
$$
\frac{5\pi}{2}\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n\le 4\pi;\qquad \frac{5}{2}\le -\frac{1}{3}+2n\le 4.
$$
$$
\frac{5}{2}-(-\frac{1}{3})\le 2n\le 4-(-\frac{1}{3});\qquad \frac{17}{12}\le n\le \frac{13}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot(2)=\frac{11\pi}{3}.
$$
Серия 3: $x=\pi+2\pi n$.
$$
\frac{5\pi}{2}\le \pi+2\pi n\le 4\pi;\qquad \frac{5}{2}\le 1+2n\le 4.
$$
$$
\frac{5}{2}-(1)\le 2n\le 4-(1);\qquad \frac{3}{4}\le n\le \frac{3}{2}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=\pi+2\pi\cdot(1)=3\pi.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=3\pi,\quad \frac{11\pi}{3}.
$$