ФИПИ 54D407 — Смешанные уравнения

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Пусть $t=4^{\sin x}>0$. Перепишем первую степень: $$ 16^{\sin x}=(4^2)^{\sin x}=(4^{\sin x})^2=t^2;\quad t^2-6t+8=0. $$ Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=1$, $B=-6$, $C=8$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения: $$ D=B^2-4AC=(-6)^2-4\cdot(1)\cdot(8)=36-32=4. $$ Извлечём квадратный корень из дискриминанта: $$ \sqrt D=\sqrt{4}=2,\qquad 2^2=2\cdot2=4. $$ При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления: $$ t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{6+2}{2}=4; $$ $$ t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{6-2}{2}=2. $$ Оба корня положительны. Запишем их степенями 4 и приравняем показатели, поскольку $4^y$ строго возрастает: $$ 4=4^1;\quad2=4^{1/2};\qquad\sin x=1\quad\text{или}\quad\sin x=\frac12. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Координата по вертикали равна $1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$. $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Для $\sin x=\frac12$ нужна вертикальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$. $$ -5\pi\le \frac{\pi}{2}+2\pi n\le -\frac{7\pi}{2};\qquad -5\le \frac{1}{2}+2n\le -\frac{7}{2}. $$ $$ -5-(\frac{1}{2})\le 2n\le -\frac{7}{2}-(\frac{1}{2});\qquad -\frac{11}{4}\le n\le -2. $$ Подходящие целые значения: $n=-2$. Подставим каждое: $$ n=-2:\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot(-2)=-\frac{7\pi}{2}. $$ Серия 2: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$. $$ -5\pi\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le -\frac{7\pi}{2};\qquad -5\le \frac{1}{6}+2n\le -\frac{7}{2}. $$ $$ -5-(\frac{1}{6})\le 2n\le -\frac{7}{2}-(\frac{1}{6});\qquad -\frac{31}{12}\le n\le -\frac{11}{6}. $$ Подходящие целые значения: $n=-2$. Подставим каждое: $$ n=-2:\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(-2)=-\frac{23\pi}{6}. $$ Серия 3: $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$. $$ -5\pi\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n\le -\frac{7\pi}{2};\qquad -5\le \frac{5}{6}+2n\le -\frac{7}{2}. $$ $$ -5-(\frac{5}{6})\le 2n\le -\frac{7}{2}-(\frac{5}{6});\qquad -\frac{35}{12}\le n\le -\frac{13}{6}. $$ Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=-\frac{23\pi}{6},\quad -\frac{7\pi}{2}. $$