ФИПИ 638272 — Смешанные уравнения

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Сначала область допустимых значений. Логарифм определён только при положительном аргументе, а знаменатель дроби не должен быть нулём: $$ \sin x>0;\qquad2\cos x+\sqrt3\ne0. $$ Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю и соблюдены эти ограничения. Обозначим $t=\log_2(\sin x)$: $$ t^2+t=0;\quad t(t+1)=0. $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай. $$ t=0\quad\text{или}\quad t+1=0;\quad t=-1. $$ По определению логарифма $\log_2 y=t$ означает $y=2^t$. Поэтому: $$ \sin x=2^0=1\quad\text{или}\quad\sin x=2^{-1}=\frac12. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Координата по вертикали равна $1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$. $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Для $\sin x=\frac12$ нужна вертикальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Теперь обязательно проверим знаменатель для всех найденных серий. При $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ он равен нулю: $$ 2\cdot(-\frac{\sqrt3}{2})+\sqrt3=-\sqrt3+\sqrt3=0. $$ Всю эту серию исключаем. При $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$ знаменатель ненулевой: $$ 2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\sqrt3=2\sqrt3\ne0. $$ При $x=\pi/2+2\pi n$ косинус равен нулю, поэтому знаменатель равен $\sqrt3\ne0$. Синус во всех оставленных точках равен 1 или 1/2 и положителен. Ограничения соблюдены.Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$. $$ 0\le \frac{\pi}{2}+2\pi n\le \frac{3\pi}{2};\qquad 0\le \frac{1}{2}+2n\le \frac{3}{2}. $$ $$ 0-(\frac{1}{2})\le 2n\le \frac{3}{2}-(\frac{1}{2});\qquad -\frac{1}{4}\le n\le \frac{1}{2}. $$ Подходящие целые значения: $n=0$. Подставим каждое: $$ n=0:\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot(0)=\frac{\pi}{2}. $$ Серия 2: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$. $$ 0\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le \frac{3\pi}{2};\qquad 0\le \frac{1}{6}+2n\le \frac{3}{2}. $$ $$ 0-(\frac{1}{6})\le 2n\le \frac{3}{2}-(\frac{1}{6});\qquad -\frac{1}{12}\le n\le \frac{2}{3}. $$ Подходящие целые значения: $n=0$. Подставим каждое: $$ n=0:\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(0)=\frac{\pi}{6}. $$ Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=\frac{\pi}{6},\quad \frac{\pi}{2}. $$