а) Решите уравнение $\frac{{4}^{\sin 2x}-{2}^{2\sqrt{3}\sin x}}{\sqrt{7\sin x}}=0$.
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{13\pi }{2};-5\pi ]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac{\pi}{6}+2 \pi n$; б) $- \frac{35 \pi}{6}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Сначала область определения. Подкоренное выражение неотрицательно, но корень стоит в знаменателе и не может равняться нулю. Поэтому условие строгое:
$$
7\sin x>0;\qquad\sin x>0.
$$
При ненулевом знаменателе дробь равна нулю, когда нулевой числитель. Приравняем его степени и приведём к одному основанию:
$$
4^{\sin2x}=2^{2\sqrt{3}\sin x};\qquad(2^2)^{\sin2x}=2^{2\sqrt{3}\sin x};\qquad2^{2\sin2x}=2^{2\sqrt{3}\sin x}.
$$
Функция $2^y$ строго возрастает, значит, показатели равны. Делим на 2 и раскрываем двойной угол:
$$
2\sin2x=2\sqrt{3}\sin x;\quad\sin2x=\sqrt{3}\sin x;\quad2\sin x\cos x-\sqrt{3}\sin x=0;\quad\sin x(2\cos x-\sqrt{3})=0.
$$
Нулевой синус запрещён областью определения, поэтому остаётся только второй множитель:
$$
2\cos x-\sqrt{3}=0;\quad\cos x=\frac{\sqrt{3}}2.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Из двух найденных серий оставляем только положительный угол в первом обороте: там $\sin x>0$. В серии с углом $-\frac{\pi}{6}$ синус отрицателен (соответственно $-1/2$ или $-\sqrt2/2$), поэтому вся эта серия запрещена. В положительной серии синус равен $1/2$ для угла $\pi/6$ или $\sqrt2/2$ для угла $\pi/4$, поэтому знаменатель строго положителен.Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
-\frac{13\pi}{2}\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le -5\pi;\qquad -\frac{13}{2}\le \frac{1}{6}+2n\le -5.
$$
$$
-\frac{13}{2}-(\frac{1}{6})\le 2n\le -5-(\frac{1}{6});\qquad -\frac{10}{3}\le n\le -\frac{31}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=-3$. Подставим каждое:
$$
n=-3:\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(-3)=-\frac{35\pi}{6}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=-\frac{35\pi}{6}.
$$