а) Решите уравнение
${16}^{\cos x}+{16}^{\cos (\pi - x)}=\frac{17}{4}$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi ; \frac{5\pi }{2}]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac{\pi}{3}+2 \pi n$ или $x=\frac{2 \pi}{3}+2 \pi n$ или $x=\frac{4 \pi}{3}+2 \pi n$ или $x=\frac{5 \pi}{3}+2 \pi n$; б) $\frac{4 \pi}{3}$, $\frac{5 \pi}{3}$, $\frac{7 \pi}{3}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Косинус разности с полуоборотом:
$$
\cos(\pi-x)=-\cos x.
$$
Положим $t=16^{\cos x}>0$ и используем обратную степень:
$$
16^{\cos(\pi-x)}=16^{-\cos x}=\frac1{16^{\cos x}}=\frac1t;\quad t+\frac1t=\frac{17}{4}.
$$
Умножим на положительное $4t$ и перенесём правую часть:
$$
4t^2+4=17t;\quad4t^2-17t+4=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=4$, $B=-17$, $C=4$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-17)^2-4\cdot(4)\cdot(4)=289-64=225.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{225}=15,\qquad 15^2=15\cdot15=225.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{17+15}{8}=\frac{32}{8}=4;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{17-15}{8}=\frac28=\frac14.
$$
Оба положительных значения представим степенями 16. У равных степеней с основанием больше 1 равны показатели:
$$
4=16^{1/2};\quad\frac14=16^{-1/2};\qquad\cos x=\frac12\quad\text{или}\quad\cos x=-\frac12.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\cos x=\frac12$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\cos x=-\frac12$ нужна горизонтальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$.
$$
\pi\le \frac{\pi}{3}+2\pi n\le \frac{5\pi}{2};\qquad 1\le \frac{1}{3}+2n\le \frac{5}{2}.
$$
$$
1-(\frac{1}{3})\le 2n\le \frac{5}{2}-(\frac{1}{3});\qquad \frac{1}{3}\le n\le \frac{13}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot(1)=\frac{7\pi}{3}.
$$
Серия 2: $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$.
$$
\pi\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n\le \frac{5\pi}{2};\qquad 1\le -\frac{1}{3}+2n\le \frac{5}{2}.
$$
$$
1-(-\frac{1}{3})\le 2n\le \frac{5}{2}-(-\frac{1}{3});\qquad \frac{2}{3}\le n\le \frac{17}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot(1)=\frac{5\pi}{3}.
$$
Серия 3: $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$.
$$
\pi\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n\le \frac{5\pi}{2};\qquad 1\le \frac{2}{3}+2n\le \frac{5}{2}.
$$
$$
1-(\frac{2}{3})\le 2n\le \frac{5}{2}-(\frac{2}{3});\qquad \frac{1}{6}\le n\le \frac{11}{12}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.
Серия 4: $x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$.
$$
\pi\le -\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le \frac{5\pi}{2};\qquad 1\le -\frac{2}{3}+2n\le \frac{5}{2}.
$$
$$
1-(-\frac{2}{3})\le 2n\le \frac{5}{2}-(-\frac{2}{3});\qquad \frac{5}{6}\le n\le \frac{19}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot(1)=\frac{4\pi}{3}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{4\pi}{3},\quad \frac{5\pi}{3},\quad \frac{7\pi}{3}.
$$