а) Решите уравнение
${49}^{\sin x}={(\frac{1}{7})}^{- \sqrt{2}\sin 2x}$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi ; \frac{7\pi }{2}]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\pi n$ или $x=\pm\frac\pi4+2\pi n$; б) $2\pi$, $\frac{9\pi}{4}$, $3\pi$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Обе части положительны. Приведём их к основанию 7 по правилу $(a^u)^v=a^{uv}$:
$$
49^{\sin x}=(7^2)^{\sin x}=7^{2\sin x};\qquad(1/7)^{-\sqrt2\sin2x}=(7^{-1})^{-\sqrt2\sin2x}=7^{\sqrt2\sin2x}.
$$
Функция $7^y$ строго возрастает, поэтому при равенстве степеней равны показатели:
$$
2\sin x=\sqrt2\sin2x=2\sqrt2\sin x\cos x.
$$
Перенесём всё влево и вынесем общий множитель:
$$
2\sin x-2\sqrt2\sin x\cos x=0;\quad2\sin x(1-\sqrt2\cos x)=0.
$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай.
$$
\sin x=0\quad\text{или}\quad\sqrt2\cos x=1;\qquad\cos x=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Синус равен нулю на горизонтальной оси окружности: углы 0 и $\pi$, затем они повторяются через $\pi$.
$$
x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\pi n$.
$$
2\pi\le \pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le 0+1n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(0)\le 1n\le \frac{7}{2}-(0);\qquad 2\le n\le \frac{7}{2}.
$$
Подходящие целые значения: $n=2,3$. Подставим каждое:
$$
n=2:\qquad x=0+\pi\cdot(2)=2\pi.
$$
$$
n=3:\qquad x=0+\pi\cdot(3)=3\pi.
$$
Серия 2: $x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
2\pi\le \frac{\pi}{4}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le \frac{1}{4}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(\frac{1}{4})\le 2n\le \frac{7}{2}-(\frac{1}{4});\qquad \frac{7}{8}\le n\le \frac{13}{8}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=\frac{\pi}{4}+2\pi\cdot(1)=\frac{9\pi}{4}.
$$
Серия 3: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$.
$$
2\pi\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le -\frac{1}{4}+2n\le \frac{7}{2}.
$$
$$
2-(-\frac{1}{4})\le 2n\le \frac{7}{2}-(-\frac{1}{4});\qquad \frac{9}{8}\le n\le \frac{15}{8}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=2\pi,\quad \frac{9\pi}{4},\quad 3\pi.
$$