а) Решите уравнение $8\cdot {16}^{{\sin }^{2}x}-2\cdot {4}^{\cos 2x}=63$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{7\pi }{2}; 5\pi ]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\pm\frac\pi3+\pi n$; б) $\frac{11\pi}{3}$, $\frac{13\pi}{3}$, $\frac{14\pi}{3}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах:
$$
\sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x;
$$
$$
\cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.
$$
В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Обе степени определены при любом $x$. Введём $u=16^{\sin^2x}$, оно положительно. Преобразуем вторую степень, используя $\cos2x=1-2\sin^2x$:
$$
4^{\cos2x}=4^{1-2\sin^2x}=\frac4{4^{2\sin^2x}}=\frac4{16^{\sin^2x}}=\frac4u.
$$
Подставим и умножим обе части на положительное $u$:
$$
8u-2\cdot\frac4u=63;\quad8u^2-8=63u;\quad8u^2-63u-8=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=8$, $B=-63$, $C=-8$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-63)^2-4\cdot(8)\cdot(-8)=3969+256=4225.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{4225}=65,\qquad 65^2=65\cdot65=4225.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{63+65}{16}=\frac{128}{16}=8;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{63-65}{16}=\frac{-2}{16}=-\frac18.
$$
Отрицательный корень не может равняться положительной степени. Остаётся $u=8$. Возвращаемся к синусу, приводя основание 16 к двойке:
$$
16^{\sin^2x}=8;\quad2^{4\sin^2x}=2^3;\quad4\sin^2x=3;\quad\sin^2x=\frac34.
$$
Не будем терять знак синуса: квадрат может получиться и из положительного, и из отрицательного значения. Удобно перейти к косинусу двойного угла:
$$
\cos2x=1-2\sin^2x=1-2\cdot\frac34=1-\frac32=-\frac12.
$$
У косинуса значение $-1/2$ получается при углах $2\pi/3$ и $-2\pi/3$ с добавлением полных оборотов. Разделим обе серии на 2:
$$
2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\qquad x=\frac\pi3+\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac\pi3+\pi n.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Первая серия получается из положительного угла двойного аргумента.
$$
x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Вторая — из отрицательного; вместе они учитывают оба знака синуса.
$$
x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{3}+\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+\pi n$.
$$
\frac{7\pi}{2}\le \frac{\pi}{3}+\pi n\le 5\pi;\qquad \frac{7}{2}\le \frac{1}{3}+1n\le 5.
$$
$$
\frac{7}{2}-(\frac{1}{3})\le 1n\le 5-(\frac{1}{3});\qquad \frac{19}{6}\le n\le \frac{14}{3}.
$$
Подходящие целые значения: $n=4$. Подставим каждое:
$$
n=4:\qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(4)=\frac{13\pi}{3}.
$$
Серия 2: $x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$.
$$
\frac{7\pi}{2}\le -\frac{\pi}{3}+\pi n\le 5\pi;\qquad \frac{7}{2}\le -\frac{1}{3}+1n\le 5.
$$
$$
\frac{7}{2}-(-\frac{1}{3})\le 1n\le 5-(-\frac{1}{3});\qquad \frac{23}{6}\le n\le \frac{16}{3}.
$$
Подходящие целые значения: $n=4,5$. Подставим каждое:
$$
n=4:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(4)=\frac{11\pi}{3}.
$$
$$
n=5:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(5)=\frac{14\pi}{3}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{11\pi}{3},\quad \frac{13\pi}{3},\quad \frac{14\pi}{3}.
$$