Смешанные уравнения — задание №13 ЕГЭ по математике

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Степени определены и положительны при любом $x$. Основание 81 равно $9^2$, поэтому удобно обозначить $t=9^{\cos x}>0$: $$ 81^{\cos x}=(9^2)^{\cos x}=9^{2\cos x}=(9^{\cos x})^2=t^2;\qquad9t^2-28t+3=0. $$ Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=9$, $B=-28$, $C=3$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения: $$ D=B^2-4AC=(-28)^2-4\cdot(9)\cdot(3)=784-108=676. $$ Извлечём квадратный корень из дискриминанта: $$ \sqrt D=\sqrt{676}=26,\qquad 26^2=26\cdot26=676. $$ При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления: $$ t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{28+26}{18}=\frac{54}{18}=3; $$ $$ t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{28-26}{18}=\frac2{18}=\frac19. $$ Оба корня положительны. Представим их степенями того же основания. Функция $9^y$ строго возрастает, значит, равные степени имеют равные показатели: $$ 3=9^{1/2},\qquad\frac19=9^{-1};\qquad\cos x=\frac12\quad\text{или}\quad\cos x=-1. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Для $\cos x=\frac12$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Координата по горизонтали равна $-1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$. $$ x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$. $$ \frac{5\pi}{2}\le \frac{\pi}{3}+2\pi n\le 4\pi;\qquad \frac{5}{2}\le \frac{1}{3}+2n\le 4. $$ $$ \frac{5}{2}-(\frac{1}{3})\le 2n\le 4-(\frac{1}{3});\qquad \frac{13}{12}\le n\le \frac{11}{6}. $$ Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке. Серия 2: $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$. $$ \frac{5\pi}{2}\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n\le 4\pi;\qquad \frac{5}{2}\le -\frac{1}{3}+2n\le 4. $$ $$ \frac{5}{2}-(-\frac{1}{3})\le 2n\le 4-(-\frac{1}{3});\qquad \frac{17}{12}\le n\le \frac{13}{6}. $$ Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое: $$ n=2:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot(2)=\frac{11\pi}{3}. $$ Серия 3: $x=\pi+2\pi n$. $$ \frac{5\pi}{2}\le \pi+2\pi n\le 4\pi;\qquad \frac{5}{2}\le 1+2n\le 4. $$ $$ \frac{5}{2}-(1)\le 2n\le 4-(1);\qquad \frac{3}{4}\le n\le \frac{3}{2}. $$ Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое: $$ n=1:\qquad x=\pi+2\pi\cdot(1)=3\pi. $$ Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=3\pi,\quad \frac{11\pi}{3}. $$

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности: $$ \sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v. $$ В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Полуоборот меняет знак синуса: $$ \sin(x+\pi)=\sin x\cdot(-1)+\cos x\cdot0=-\sin x. $$ Обозначим $t=16^{\sin x}>0$. Отрицательный показатель даёт обратную величину: $$ 16^{\sin(x+\pi)}=16^{-\sin x}=\frac1{16^{\sin x}}=\frac1t;\qquad t+\frac1t=\frac{17}{4}. $$ Умножим обе части на положительное $4t$, поэтому корней не теряем и не добавляем: $$ 4t^2+4=17t;\qquad4t^2-17t+4=0. $$ Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=4$, $B=-17$, $C=4$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения: $$ D=B^2-4AC=(-17)^2-4\cdot(4)\cdot(4)=289-64=225. $$ Извлечём квадратный корень из дискриминанта: $$ \sqrt D=\sqrt{225}=15,\qquad 15^2=15\cdot15=225. $$ При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления: $$ t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{17+15}{8}=\frac{32}{8}=4; $$ $$ t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{17-15}{8}=\frac28=\frac14. $$ Оба значения положительны. Так как $16=2^4$, перепишем корни степенями 16 и приравняем показатели: $$ 4=2^2=16^{1/2};\qquad\frac14=2^{-2}=16^{-1/2};\qquad\sin x=\frac12\quad\text{или}\quad\sin x=-\frac12. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Для $\sin x=\frac12$ нужна вертикальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Для $\sin x=-\frac12$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$. $$ \frac{3\pi}{2}\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le \frac{1}{6}+2n\le 3. $$ $$ \frac{3}{2}-(\frac{1}{6})\le 2n\le 3-(\frac{1}{6});\qquad \frac{2}{3}\le n\le \frac{17}{12}. $$ Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое: $$ n=1:\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(1)=\frac{13\pi}{6}. $$ Серия 2: $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$. $$ \frac{3\pi}{2}\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le \frac{5}{6}+2n\le 3. $$ $$ \frac{3}{2}-(\frac{5}{6})\le 2n\le 3-(\frac{5}{6});\qquad \frac{1}{3}\le n\le \frac{13}{12}. $$ Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое: $$ n=1:\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi\cdot(1)=\frac{17\pi}{6}. $$ Серия 3: $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$. $$ \frac{3\pi}{2}\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{1}{6}+2n\le 3. $$ $$ \frac{3}{2}-(-\frac{1}{6})\le 2n\le 3-(-\frac{1}{6});\qquad \frac{5}{6}\le n\le \frac{19}{12}. $$ Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое: $$ n=1:\qquad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(1)=\frac{11\pi}{6}. $$ Серия 4: $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$. $$ \frac{3\pi}{2}\le -\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{5}{6}+2n\le 3. $$ $$ \frac{3}{2}-(-\frac{5}{6})\le 2n\le 3-(-\frac{5}{6});\qquad \frac{7}{6}\le n\le \frac{23}{12}. $$ Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=\frac{11\pi}{6},\quad \frac{13\pi}{6},\quad \frac{17\pi}{6}. $$

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах: $$ \sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x; $$ $$ \cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x. $$ В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Обе части положительны. Приведём их к основанию 7 по правилу $(a^u)^v=a^{uv}$: $$ 49^{\sin x}=(7^2)^{\sin x}=7^{2\sin x};\qquad(1/7)^{-\sqrt2\sin2x}=(7^{-1})^{-\sqrt2\sin2x}=7^{\sqrt2\sin2x}. $$ Функция $7^y$ строго возрастает, поэтому при равенстве степеней равны показатели: $$ 2\sin x=\sqrt2\sin2x=2\sqrt2\sin x\cos x. $$ Перенесём всё влево и вынесем общий множитель: $$ 2\sin x-2\sqrt2\sin x\cos x=0;\quad2\sin x(1-\sqrt2\cos x)=0. $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай. $$ \sin x=0\quad\text{или}\quad\sqrt2\cos x=1;\qquad\cos x=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Синус равен нулю на горизонтальной оси окружности: углы 0 и $\pi$, затем они повторяются через $\pi$. $$ x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Для $\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\pi n$. $$ 2\pi\le \pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le 0+1n\le \frac{7}{2}. $$ $$ 2-(0)\le 1n\le \frac{7}{2}-(0);\qquad 2\le n\le \frac{7}{2}. $$ Подходящие целые значения: $n=2,3$. Подставим каждое: $$ n=2:\qquad x=0+\pi\cdot(2)=2\pi. $$ $$ n=3:\qquad x=0+\pi\cdot(3)=3\pi. $$ Серия 2: $x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$. $$ 2\pi\le \frac{\pi}{4}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le \frac{1}{4}+2n\le \frac{7}{2}. $$ $$ 2-(\frac{1}{4})\le 2n\le \frac{7}{2}-(\frac{1}{4});\qquad \frac{7}{8}\le n\le \frac{13}{8}. $$ Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое: $$ n=1:\qquad x=\frac{\pi}{4}+2\pi\cdot(1)=\frac{9\pi}{4}. $$ Серия 3: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$. $$ 2\pi\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n\le \frac{7\pi}{2};\qquad 2\le -\frac{1}{4}+2n\le \frac{7}{2}. $$ $$ 2-(-\frac{1}{4})\le 2n\le \frac{7}{2}-(-\frac{1}{4});\qquad \frac{9}{8}\le n\le \frac{15}{8}. $$ Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=2\pi,\quad \frac{9\pi}{4},\quad 3\pi. $$

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Положим $t=9^{\sin x}>0$. Основание 81 равно $9^2$, поэтому: $$ 81^{\sin x}=9^{2\sin x}=t^2;\qquad27t^2-12t+1=0. $$ Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=27$, $B=-12$, $C=1$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения: $$ D=B^2-4AC=(-12)^2-4\cdot(27)\cdot(1)=144-108=36. $$ Извлечём квадратный корень из дискриминанта: $$ \sqrt D=\sqrt{36}=6,\qquad 6^2=6\cdot6=36. $$ При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления: $$ t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{12+6}{54}=\frac{18}{54}=\frac13; $$ $$ t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{12-6}{54}=\frac6{54}=\frac19. $$ Оба корня положительны. Перепишем их степенями 9, чтобы вернуться к показателю: $$ \frac13=9^{-1/2};\qquad\frac19=9^{-1};\qquad9^{\sin x}=9^{-1/2}\quad\text{или}\quad9^{\sin x}=9^{-1}. $$ Степенная функция с основанием больше 1 строго возрастает. Приравниваем показатели: $$ \sin x=-\frac12\quad\text{или}\quad\sin x=-1. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Для $\sin x=-\frac12$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Координата по вертикали равна $-1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$. $$ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$. $$ \frac{3\pi}{2}\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{1}{6}+2n\le 3. $$ $$ \frac{3}{2}-(-\frac{1}{6})\le 2n\le 3-(-\frac{1}{6});\qquad \frac{5}{6}\le n\le \frac{19}{12}. $$ Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое: $$ n=1:\qquad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(1)=\frac{11\pi}{6}. $$ Серия 2: $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$. $$ \frac{3\pi}{2}\le -\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{5}{6}+2n\le 3. $$ $$ \frac{3}{2}-(-\frac{5}{6})\le 2n\le 3-(-\frac{5}{6});\qquad \frac{7}{6}\le n\le \frac{23}{12}. $$ Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке. Серия 3: $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$. $$ \frac{3\pi}{2}\le -\frac{\pi}{2}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{1}{2}+2n\le 3. $$ $$ \frac{3}{2}-(-\frac{1}{2})\le 2n\le 3-(-\frac{1}{2});\qquad 1\le n\le \frac{7}{4}. $$ Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое: $$ n=1:\qquad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot(1)=\frac{3\pi}{2}. $$ Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=\frac{3\pi}{2},\quad \frac{11\pi}{6}. $$

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности: $$ \sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v. $$ В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Приведём обе части к основанию 7, подставляя значения функций сдвинутых углов: $$ \sin(x+\pi)=-\sin x;\quad\sin(\pi/2-x)=\cos x;\quad(1/49)^{\sin(x+\pi)}=(7^{-2})^{-\sin x}=7^{2\sin x}. $$ Поскольку $7^y$ строго возрастает, равенство степеней равносильно равенству показателей. Делим обе части на 2: $$ 2\sin x=2\sqrt3\cos x;\qquad\sin x-\sqrt3\cos x=0. $$ Представим разность через синус разности. По формуле суммы: $$ 2\sin(x-\pi/3)=2\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=\sin x-\sqrt3\cos x. $$ Следовательно: $$ \sin(x-\pi/3)=0;\quad x-\pi/3=\pi n;\quad x=\pi/3+\pi n. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Нули синуса — целые кратные $\pi$. После прибавления $\pi/3$ получена серия: $$ x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+\pi n$. $$ 3\pi\le \frac{\pi}{3}+\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le \frac{1}{3}+1n\le \frac{9}{2}. $$ $$ 3-(\frac{1}{3})\le 1n\le \frac{9}{2}-(\frac{1}{3});\qquad \frac{8}{3}\le n\le \frac{25}{6}. $$ Подходящие целые значения: $n=3,4$. Подставим каждое: $$ n=3:\qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(3)=\frac{10\pi}{3}. $$ $$ n=4:\qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(4)=\frac{13\pi}{3}. $$ Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=\frac{10\pi}{3},\quad \frac{13\pi}{3}. $$

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Пусть $t=4^{\sin x}>0$. Перепишем первую степень: $$ 16^{\sin x}=(4^2)^{\sin x}=(4^{\sin x})^2=t^2;\quad t^2-6t+8=0. $$ Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=1$, $B=-6$, $C=8$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения: $$ D=B^2-4AC=(-6)^2-4\cdot(1)\cdot(8)=36-32=4. $$ Извлечём квадратный корень из дискриминанта: $$ \sqrt D=\sqrt{4}=2,\qquad 2^2=2\cdot2=4. $$ При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления: $$ t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{6+2}{2}=4; $$ $$ t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{6-2}{2}=2. $$ Оба корня положительны. Запишем их степенями 4 и приравняем показатели, поскольку $4^y$ строго возрастает: $$ 4=4^1;\quad2=4^{1/2};\qquad\sin x=1\quad\text{или}\quad\sin x=\frac12. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Координата по вертикали равна $1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$. $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Для $\sin x=\frac12$ нужна вертикальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$. $$ -5\pi\le \frac{\pi}{2}+2\pi n\le -\frac{7\pi}{2};\qquad -5\le \frac{1}{2}+2n\le -\frac{7}{2}. $$ $$ -5-(\frac{1}{2})\le 2n\le -\frac{7}{2}-(\frac{1}{2});\qquad -\frac{11}{4}\le n\le -2. $$ Подходящие целые значения: $n=-2$. Подставим каждое: $$ n=-2:\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot(-2)=-\frac{7\pi}{2}. $$ Серия 2: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$. $$ -5\pi\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le -\frac{7\pi}{2};\qquad -5\le \frac{1}{6}+2n\le -\frac{7}{2}. $$ $$ -5-(\frac{1}{6})\le 2n\le -\frac{7}{2}-(\frac{1}{6});\qquad -\frac{31}{12}\le n\le -\frac{11}{6}. $$ Подходящие целые значения: $n=-2$. Подставим каждое: $$ n=-2:\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(-2)=-\frac{23\pi}{6}. $$ Серия 3: $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$. $$ -5\pi\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n\le -\frac{7\pi}{2};\qquad -5\le \frac{5}{6}+2n\le -\frac{7}{2}. $$ $$ -5-(\frac{5}{6})\le 2n\le -\frac{7}{2}-(\frac{5}{6});\qquad -\frac{35}{12}\le n\le -\frac{13}{6}. $$ Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=-\frac{23\pi}{6},\quad -\frac{7\pi}{2}. $$

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах: $$ \sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x; $$ $$ \cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x. $$ В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Обе степени определены при любом $x$. Введём $u=16^{\sin^2x}$, оно положительно. Преобразуем вторую степень, используя $\cos2x=1-2\sin^2x$: $$ 4^{\cos2x}=4^{1-2\sin^2x}=\frac4{4^{2\sin^2x}}=\frac4{16^{\sin^2x}}=\frac4u. $$ Подставим и умножим обе части на положительное $u$: $$ 8u-2\cdot\frac4u=63;\quad8u^2-8=63u;\quad8u^2-63u-8=0. $$ Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=8$, $B=-63$, $C=-8$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения: $$ D=B^2-4AC=(-63)^2-4\cdot(8)\cdot(-8)=3969+256=4225. $$ Извлечём квадратный корень из дискриминанта: $$ \sqrt D=\sqrt{4225}=65,\qquad 65^2=65\cdot65=4225. $$ При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления: $$ t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{63+65}{16}=\frac{128}{16}=8; $$ $$ t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{63-65}{16}=\frac{-2}{16}=-\frac18. $$ Отрицательный корень не может равняться положительной степени. Остаётся $u=8$. Возвращаемся к синусу, приводя основание 16 к двойке: $$ 16^{\sin^2x}=8;\quad2^{4\sin^2x}=2^3;\quad4\sin^2x=3;\quad\sin^2x=\frac34. $$ Не будем терять знак синуса: квадрат может получиться и из положительного, и из отрицательного значения. Удобно перейти к косинусу двойного угла: $$ \cos2x=1-2\sin^2x=1-2\cdot\frac34=1-\frac32=-\frac12. $$ У косинуса значение $-1/2$ получается при углах $2\pi/3$ и $-2\pi/3$ с добавлением полных оборотов. Разделим обе серии на 2: $$ 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\qquad x=\frac\pi3+\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac\pi3+\pi n. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Первая серия получается из положительного угла двойного аргумента. $$ x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Вторая — из отрицательного; вместе они учитывают оба знака синуса. $$ x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\frac{\pi}{3}+\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+\pi n$. $$ \frac{7\pi}{2}\le \frac{\pi}{3}+\pi n\le 5\pi;\qquad \frac{7}{2}\le \frac{1}{3}+1n\le 5. $$ $$ \frac{7}{2}-(\frac{1}{3})\le 1n\le 5-(\frac{1}{3});\qquad \frac{19}{6}\le n\le \frac{14}{3}. $$ Подходящие целые значения: $n=4$. Подставим каждое: $$ n=4:\qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(4)=\frac{13\pi}{3}. $$ Серия 2: $x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$. $$ \frac{7\pi}{2}\le -\frac{\pi}{3}+\pi n\le 5\pi;\qquad \frac{7}{2}\le -\frac{1}{3}+1n\le 5. $$ $$ \frac{7}{2}-(-\frac{1}{3})\le 1n\le 5-(-\frac{1}{3});\qquad \frac{23}{6}\le n\le \frac{16}{3}. $$ Подходящие целые значения: $n=4,5$. Подставим каждое: $$ n=4:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(4)=\frac{11\pi}{3}. $$ $$ n=5:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(5)=\frac{14\pi}{3}. $$ Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=\frac{11\pi}{3},\quad \frac{13\pi}{3},\quad \frac{14\pi}{3}. $$

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Сначала область допустимых значений. Логарифм определён только при положительном аргументе, а знаменатель дроби не должен быть нулём: $$ \sin x>0;\qquad2\cos x+\sqrt3\ne0. $$ Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю и соблюдены эти ограничения. Обозначим $t=\log_2(\sin x)$: $$ t^2+t=0;\quad t(t+1)=0. $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай. $$ t=0\quad\text{или}\quad t+1=0;\quad t=-1. $$ По определению логарифма $\log_2 y=t$ означает $y=2^t$. Поэтому: $$ \sin x=2^0=1\quad\text{или}\quad\sin x=2^{-1}=\frac12. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Координата по вертикали равна $1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$. $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Для $\sin x=\frac12$ нужна вертикальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Теперь обязательно проверим знаменатель для всех найденных серий. При $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ он равен нулю: $$ 2\cdot(-\frac{\sqrt3}{2})+\sqrt3=-\sqrt3+\sqrt3=0. $$ Всю эту серию исключаем. При $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$ знаменатель ненулевой: $$ 2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\sqrt3=2\sqrt3\ne0. $$ При $x=\pi/2+2\pi n$ косинус равен нулю, поэтому знаменатель равен $\sqrt3\ne0$. Синус во всех оставленных точках равен 1 или 1/2 и положителен. Ограничения соблюдены.Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$. $$ 0\le \frac{\pi}{2}+2\pi n\le \frac{3\pi}{2};\qquad 0\le \frac{1}{2}+2n\le \frac{3}{2}. $$ $$ 0-(\frac{1}{2})\le 2n\le \frac{3}{2}-(\frac{1}{2});\qquad -\frac{1}{4}\le n\le \frac{1}{2}. $$ Подходящие целые значения: $n=0$. Подставим каждое: $$ n=0:\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot(0)=\frac{\pi}{2}. $$ Серия 2: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$. $$ 0\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le \frac{3\pi}{2};\qquad 0\le \frac{1}{6}+2n\le \frac{3}{2}. $$ $$ 0-(\frac{1}{6})\le 2n\le \frac{3}{2}-(\frac{1}{6});\qquad -\frac{1}{12}\le n\le \frac{2}{3}. $$ Подходящие целые значения: $n=0$. Подставим каждое: $$ n=0:\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(0)=\frac{\pi}{6}. $$ Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=\frac{\pi}{6},\quad \frac{\pi}{2}. $$

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах: $$ \sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x; $$ $$ \cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x. $$ В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Сначала область определения. Подкоренное выражение неотрицательно, но корень стоит в знаменателе и не может равняться нулю. Поэтому условие строгое: $$ 7\sin x>0;\qquad\sin x>0. $$ При ненулевом знаменателе дробь равна нулю, когда нулевой числитель. Приравняем его степени и приведём к одному основанию: $$ 4^{\sin2x}=2^{2\sqrt{3}\sin x};\qquad(2^2)^{\sin2x}=2^{2\sqrt{3}\sin x};\qquad2^{2\sin2x}=2^{2\sqrt{3}\sin x}. $$ Функция $2^y$ строго возрастает, значит, показатели равны. Делим на 2 и раскрываем двойной угол: $$ 2\sin2x=2\sqrt{3}\sin x;\quad\sin2x=\sqrt{3}\sin x;\quad2\sin x\cos x-\sqrt{3}\sin x=0;\quad\sin x(2\cos x-\sqrt{3})=0. $$ Нулевой синус запрещён областью определения, поэтому остаётся только второй множитель: $$ 2\cos x-\sqrt{3}=0;\quad\cos x=\frac{\sqrt{3}}2. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Для $\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Из двух найденных серий оставляем только положительный угол в первом обороте: там $\sin x>0$. В серии с углом $-\frac{\pi}{6}$ синус отрицателен (соответственно $-1/2$ или $-\sqrt2/2$), поэтому вся эта серия запрещена. В положительной серии синус равен $1/2$ для угла $\pi/6$ или $\sqrt2/2$ для угла $\pi/4$, поэтому знаменатель строго положителен.Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$. $$ -\frac{13\pi}{2}\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le -5\pi;\qquad -\frac{13}{2}\le \frac{1}{6}+2n\le -5. $$ $$ -\frac{13}{2}-(\frac{1}{6})\le 2n\le -5-(\frac{1}{6});\qquad -\frac{10}{3}\le n\le -\frac{31}{12}. $$ Подходящие целые значения: $n=-3$. Подставим каждое: $$ n=-3:\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(-3)=-\frac{35\pi}{6}. $$ Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=-\frac{35\pi}{6}. $$

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах: $$ \sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x; $$ $$ \cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x. $$ В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Обе степени определены при любом $x$. Введём $u=16^{\sin^2x}$, оно положительно. Преобразуем вторую степень, используя $\cos2x=1-2\sin^2x$: $$ 4^{\cos2x}=4^{1-2\sin^2x}=\frac4{4^{2\sin^2x}}=\frac4{16^{\sin^2x}}=\frac4u. $$ Подставим и умножим обе части на положительное $u$: $$ 4u-6\cdot\frac4u=29;\quad4u^2-24=29u;\quad4u^2-29u-24=0. $$ Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=4$, $B=-29$, $C=-24$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения: $$ D=B^2-4AC=(-29)^2-4\cdot(4)\cdot(-24)=841+384=1225. $$ Извлечём квадратный корень из дискриминанта: $$ \sqrt D=\sqrt{1225}=35,\qquad 35^2=35\cdot35=1225. $$ При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления: $$ t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{29+35}{8}=\frac{64}{8}=8; $$ $$ t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{29-35}{8}=\frac{-6}{8}=-\frac34. $$ Отрицательный корень не может равняться положительной степени. Остаётся $u=8$. Возвращаемся к синусу, приводя основание 16 к двойке: $$ 16^{\sin^2x}=8;\quad2^{4\sin^2x}=2^3;\quad4\sin^2x=3;\quad\sin^2x=\frac34. $$ Не будем терять знак синуса: квадрат может получиться и из положительного, и из отрицательного значения. Удобно перейти к косинусу двойного угла: $$ \cos2x=1-2\sin^2x=1-2\cdot\frac34=1-\frac32=-\frac12. $$ У косинуса значение $-1/2$ получается при углах $2\pi/3$ и $-2\pi/3$ с добавлением полных оборотов. Разделим обе серии на 2: $$ 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\qquad x=\frac\pi3+\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac\pi3+\pi n. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Первая серия получается из положительного угла двойного аргумента. $$ x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Вторая — из отрицательного; вместе они учитывают оба знака синуса. $$ x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\frac{\pi}{3}+\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+\pi n$. $$ \frac{3\pi}{2}\le \frac{\pi}{3}+\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le \frac{1}{3}+1n\le 3. $$ $$ \frac{3}{2}-(\frac{1}{3})\le 1n\le 3-(\frac{1}{3});\qquad \frac{7}{6}\le n\le \frac{8}{3}. $$ Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое: $$ n=2:\qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(2)=\frac{7\pi}{3}. $$ Серия 2: $x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$. $$ \frac{3\pi}{2}\le -\frac{\pi}{3}+\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{1}{3}+1n\le 3. $$ $$ \frac{3}{2}-(-\frac{1}{3})\le 1n\le 3-(-\frac{1}{3});\qquad \frac{11}{6}\le n\le \frac{10}{3}. $$ Подходящие целые значения: $n=2,3$. Подставим каждое: $$ n=2:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(2)=\frac{5\pi}{3}. $$ $$ n=3:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(3)=\frac{8\pi}{3}. $$ Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=\frac{5\pi}{3},\quad \frac{7\pi}{3},\quad \frac{8\pi}{3}. $$

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Сначала область допустимых значений. Логарифм определён только при положительном аргументе, а знаменатель дроби не должен быть нулём: $$ \sin x>0;\qquad2\cos x-\sqrt3\ne0. $$ Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю и соблюдены эти ограничения. Обозначим $t=\log_2(\sin x)$: $$ t^2+t=0;\quad t(t+1)=0. $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. На множители не делим: иначе можно потерять их нули. Разбираем каждый случай. $$ t=0\quad\text{или}\quad t+1=0;\quad t=-1. $$ По определению логарифма $\log_2 y=t$ означает $y=2^t$. Поэтому: $$ \sin x=2^0=1\quad\text{или}\quad\sin x=2^{-1}=\frac12. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Координата по вертикали равна $1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$. $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Для $\sin x=\frac12$ нужна вертикальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Теперь обязательно проверим знаменатель для всех найденных серий. При $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$ он равен нулю: $$ 2\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\sqrt3=\sqrt3-\sqrt3=0. $$ Всю эту серию исключаем. При $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ знаменатель ненулевой: $$ 2\cdot(-\frac{\sqrt3}{2})-\sqrt3=-2\sqrt3\ne0. $$ При $x=\pi/2+2\pi n$ косинус равен нулю, поэтому знаменатель равен $-\sqrt3\ne0$. Синус во всех оставленных точках равен 1 или 1/2 и положителен. Ограничения соблюдены.Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$. $$ \frac{\pi}{2}\le \frac{\pi}{2}+2\pi n\le 2\pi;\qquad \frac{1}{2}\le \frac{1}{2}+2n\le 2. $$ $$ \frac{1}{2}-(\frac{1}{2})\le 2n\le 2-(\frac{1}{2});\qquad 0\le n\le \frac{3}{4}. $$ Подходящие целые значения: $n=0$. Подставим каждое: $$ n=0:\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot(0)=\frac{\pi}{2}. $$ Серия 2: $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$. $$ \frac{\pi}{2}\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n\le 2\pi;\qquad \frac{1}{2}\le \frac{5}{6}+2n\le 2. $$ $$ \frac{1}{2}-(\frac{5}{6})\le 2n\le 2-(\frac{5}{6});\qquad -\frac{1}{6}\le n\le \frac{7}{12}. $$ Подходящие целые значения: $n=0$. Подставим каждое: $$ n=0:\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi\cdot(0)=\frac{5\pi}{6}. $$ Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=\frac{\pi}{2},\quad \frac{5\pi}{6}. $$

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности: $$ \sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v. $$ В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Косинус разности с полуоборотом: $$ \cos(\pi-x)=-\cos x. $$ Положим $t=16^{\cos x}>0$ и используем обратную степень: $$ 16^{\cos(\pi-x)}=16^{-\cos x}=\frac1{16^{\cos x}}=\frac1t;\quad t+\frac1t=\frac{17}{4}. $$ Умножим на положительное $4t$ и перенесём правую часть: $$ 4t^2+4=17t;\quad4t^2-17t+4=0. $$ Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=4$, $B=-17$, $C=4$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения: $$ D=B^2-4AC=(-17)^2-4\cdot(4)\cdot(4)=289-64=225. $$ Извлечём квадратный корень из дискриминанта: $$ \sqrt D=\sqrt{225}=15,\qquad 15^2=15\cdot15=225. $$ При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления: $$ t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{17+15}{8}=\frac{32}{8}=4; $$ $$ t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{17-15}{8}=\frac28=\frac14. $$ Оба положительных значения представим степенями 16. У равных степеней с основанием больше 1 равны показатели: $$ 4=16^{1/2};\quad\frac14=16^{-1/2};\qquad\cos x=\frac12\quad\text{или}\quad\cos x=-\frac12. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Для $\cos x=\frac12$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Для $\cos x=-\frac12$ нужна горизонтальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$. $$ \pi\le \frac{\pi}{3}+2\pi n\le \frac{5\pi}{2};\qquad 1\le \frac{1}{3}+2n\le \frac{5}{2}. $$ $$ 1-(\frac{1}{3})\le 2n\le \frac{5}{2}-(\frac{1}{3});\qquad \frac{1}{3}\le n\le \frac{13}{12}. $$ Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое: $$ n=1:\qquad x=\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot(1)=\frac{7\pi}{3}. $$ Серия 2: $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$. $$ \pi\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n\le \frac{5\pi}{2};\qquad 1\le -\frac{1}{3}+2n\le \frac{5}{2}. $$ $$ 1-(-\frac{1}{3})\le 2n\le \frac{5}{2}-(-\frac{1}{3});\qquad \frac{2}{3}\le n\le \frac{17}{12}. $$ Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое: $$ n=1:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot(1)=\frac{5\pi}{3}. $$ Серия 3: $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$. $$ \pi\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n\le \frac{5\pi}{2};\qquad 1\le \frac{2}{3}+2n\le \frac{5}{2}. $$ $$ 1-(\frac{2}{3})\le 2n\le \frac{5}{2}-(\frac{2}{3});\qquad \frac{1}{6}\le n\le \frac{11}{12}. $$ Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке. Серия 4: $x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$. $$ \pi\le -\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le \frac{5\pi}{2};\qquad 1\le -\frac{2}{3}+2n\le \frac{5}{2}. $$ $$ 1-(-\frac{2}{3})\le 2n\le \frac{5}{2}-(-\frac{2}{3});\qquad \frac{5}{6}\le n\le \frac{19}{12}. $$ Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое: $$ n=1:\qquad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot(1)=\frac{4\pi}{3}. $$ Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=\frac{4\pi}{3},\quad \frac{5\pi}{3},\quad \frac{7\pi}{3}. $$

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах: $$ \sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x; $$ $$ \cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x. $$ В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Сначала область определения. Подкоренное выражение неотрицательно, но корень стоит в знаменателе и не может равняться нулю. Поэтому условие строгое: $$ 11\sin x>0;\qquad\sin x>0. $$ При ненулевом знаменателе дробь равна нулю, когда нулевой числитель. Приравняем его степени и приведём к одному основанию: $$ 9^{\sin2x}=3^{2\sqrt{2}\sin x};\qquad(3^2)^{\sin2x}=3^{2\sqrt{2}\sin x};\qquad3^{2\sin2x}=3^{2\sqrt{2}\sin x}. $$ Функция $3^y$ строго возрастает, значит, показатели равны. Делим на 2 и раскрываем двойной угол: $$ 2\sin2x=2\sqrt{2}\sin x;\quad\sin2x=\sqrt{2}\sin x;\quad2\sin x\cos x-\sqrt{2}\sin x=0;\quad\sin x(2\cos x-\sqrt{2})=0. $$ Нулевой синус запрещён областью определения, поэтому остаётся только второй множитель: $$ 2\cos x-\sqrt{2}=0;\quad\cos x=\frac{\sqrt{2}}2. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Для $\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Из двух найденных серий оставляем только положительный угол в первом обороте: там $\sin x>0$. В серии с углом $-\frac{\pi}{4}$ синус отрицателен (соответственно $-1/2$ или $-\sqrt2/2$), поэтому вся эта серия запрещена. В положительной серии синус равен $1/2$ для угла $\pi/6$ или $\sqrt2/2$ для угла $\pi/4$, поэтому знаменатель строго положителен.Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$. $$ \frac{7\pi}{2}\le \frac{\pi}{4}+2\pi n\le 5\pi;\qquad \frac{7}{2}\le \frac{1}{4}+2n\le 5. $$ $$ \frac{7}{2}-(\frac{1}{4})\le 2n\le 5-(\frac{1}{4});\qquad \frac{13}{8}\le n\le \frac{19}{8}. $$ Подходящие целые значения: $n=2$. Подставим каждое: $$ n=2:\qquad x=\frac{\pi}{4}+2\pi\cdot(2)=\frac{17\pi}{4}. $$ Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=\frac{17\pi}{4}. $$