а) Решите уравнение
${(\frac{1}{49})}^{\sin (x + \pi )}={7}^{2\sqrt{3}\sin (\frac{\pi }{2} - x)}$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi ; \frac{9\pi }{2}]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=\frac\pi3+\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $\frac{10\pi}{3}$, $\frac{13\pi}{3}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Приведём обе части к основанию 7, подставляя значения функций сдвинутых углов:
$$
\sin(x+\pi)=-\sin x;\quad\sin(\pi/2-x)=\cos x;\quad(1/49)^{\sin(x+\pi)}=(7^{-2})^{-\sin x}=7^{2\sin x}.
$$
Поскольку $7^y$ строго возрастает, равенство степеней равносильно равенству показателей. Делим обе части на 2:
$$
2\sin x=2\sqrt3\cos x;\qquad\sin x-\sqrt3\cos x=0.
$$
Представим разность через синус разности. По формуле суммы:
$$
2\sin(x-\pi/3)=2\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=\sin x-\sqrt3\cos x.
$$
Следовательно:
$$
\sin(x-\pi/3)=0;\quad x-\pi/3=\pi n;\quad x=\pi/3+\pi n.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Нули синуса — целые кратные $\pi$. После прибавления $\pi/3$ получена серия:
$$
x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+\pi n$.
$$
3\pi\le \frac{\pi}{3}+\pi n\le \frac{9\pi}{2};\qquad 3\le \frac{1}{3}+1n\le \frac{9}{2}.
$$
$$
3-(\frac{1}{3})\le 1n\le \frac{9}{2}-(\frac{1}{3});\qquad \frac{8}{3}\le n\le \frac{25}{6}.
$$
Подходящие целые значения: $n=3,4$. Подставим каждое:
$$
n=3:\qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(3)=\frac{10\pi}{3}.
$$
$$
n=4:\qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi\cdot(4)=\frac{13\pi}{3}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{10\pi}{3},\quad \frac{13\pi}{3}.
$$