а) Решите уравнение
$27\cdot {81}^{\sin x}-12\cdot {9}^{\sin x}+1=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi }{2} ; 3\pi ]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $x=-\frac\pi6+2\pi n$, $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ или $x=-\frac\pi2+2\pi n$; б) $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{11\pi}{6}$.
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Положим $t=9^{\sin x}>0$. Основание 81 равно $9^2$, поэтому:
$$
81^{\sin x}=9^{2\sin x}=t^2;\qquad27t^2-12t+1=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=27$, $B=-12$, $C=1$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-12)^2-4\cdot(27)\cdot(1)=144-108=36.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{36}=6,\qquad 6^2=6\cdot6=36.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{12+6}{54}=\frac{18}{54}=\frac13;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{12-6}{54}=\frac6{54}=\frac19.
$$
Оба корня положительны. Перепишем их степенями 9, чтобы вернуться к показателю:
$$
\frac13=9^{-1/2};\qquad\frac19=9^{-1};\qquad9^{\sin x}=9^{-1/2}\quad\text{или}\quad9^{\sin x}=9^{-1}.
$$
Степенная функция с основанием больше 1 строго возрастает. Приравниваем показатели:
$$
\sin x=-\frac12\quad\text{или}\quad\sin x=-1.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\sin x=-\frac12$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Координата по вертикали равна $-1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$.
$$
x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{1}{6}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(-\frac{1}{6})\le 2n\le 3-(-\frac{1}{6});\qquad \frac{5}{6}\le n\le \frac{19}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(1)=\frac{11\pi}{6}.
$$
Серия 2: $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le -\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{5}{6}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(-\frac{5}{6})\le 2n\le 3-(-\frac{5}{6});\qquad \frac{7}{6}\le n\le \frac{23}{12}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.
Серия 3: $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le -\frac{\pi}{2}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{1}{2}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(-\frac{1}{2})\le 2n\le 3-(-\frac{1}{2});\qquad 1\le n\le \frac{7}{4}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot(1)=\frac{3\pi}{2}.
$$
Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{3\pi}{2},\quad \frac{11\pi}{6}.
$$