а) Решите уравнение
${27}^{x} -28\cdot {3}^{x + 1} +{3}^{5 - x} =0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\sqrt{3} ; {\log }_{2}5]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) x = 1/2 или x = 2; б) 2
Решение
а) Уравнение определено при всех действительных $x$, поскольку основания степеней положительны. Здесь основания $27$ и $3$ связаны: $27=3^3$. Это позволяет заменить несколько разных степеней одной переменной.Сначала вычислим нужные целые степени основания последовательным умножением:
$$
3^2=3\cdot3=9;\quad3^3=9\cdot3=27;\quad3^4=27\cdot3=81;\quad3^5=81\cdot3=243.
$$
Положим $t=3^x>0$. По правилам степеней:
$$
27^x=(3^3)^x=(3^x)^3=t^3;\qquad3^{x+1}=3^x\cdot3^{1}=3t;
$$
Степень с разностью показателей — частное степеней:
$$
3^{5-x}=\frac{3^5}{3^x}=\frac{243}t.
$$
Подставим замену и посчитаем коэффициент среднего слагаемого:
$$
t^3-28\cdot3t+\frac{243}t=0;\qquad t^3-84t+\frac{243}t=0.
$$
Умножаем на $t$. Он строго положителен и не равен нулю, поэтому это равносильное преобразование:
$$
t^4-84t^2+243=0.
$$
В уравнении есть только $t^4=(t^2)^2$ и $t^2$, поэтому вводим ещё одну переменную $u=t^2>0$:
$$
u^2-84u+243=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $u$. Его коэффициенты $A=1$, $B=-84$, $C=243$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-84)^2-4\cdot(1)\cdot(243)=7056-972=6084.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{6084}=78,\qquad 78^2=78\cdot78=6084.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
u_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{84+78}2=\frac{162}2=81;
$$
$$
u_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{84-78}2=\frac{6}2=3.
$$
Оба корня положительны, поэтому допустимы для $u$. Вернёмся сразу к $x$: по определению $u=t^2=(3^x)^2=3^{2x}$. Это позволяет не вводить лишние отрицательные значения $t$, ведь $t$ изначально положительно.Если $u=81$, запишем это число степенью того же основания. Равенство показателей следует из строгого возрастания функции $3^y$:
$$
3^{2x}=81=3^{4};\quad2x=4;\quad x=\frac{4}2=2.
$$
Если $u=3$, запишем это число степенью того же основания. Равенство показателей следует из строгого возрастания функции $3^y$:
$$
3^{2x}=3=3^{1};\quad2x=1;\quad x=\frac{1}2=\frac{1}{2}.
$$
Проверим оба значения именно в исходном уравнении:Для $x=1/2$ применим $3^{m+1/2}=3^m\sqrt3$:
$$
27^{1/2}=3^{3/2}=3\sqrt3;\quad3^{3/2}=3\sqrt3;\quad3^{9/2}=81\sqrt3;\quad3\sqrt3-28\cdot3\sqrt3+81\sqrt3=(3-84+81)\sqrt3=0.
$$
Для $x=2$:
$$
27^2-28\cdot3^3+3^3=729-28\cdot27+27=729-756+27=0.
$$
Ответ пункта а):
$$
x=\frac{1}{2}\quad\text{или}\quad x=2.
$$
б) Сравним каждый найденный корень с границами. Для логарифма с основанием больше 1 сохраняется порядок: $\log_a b\le x\le\log_a c$ равносильно $b\le a^x\le c$, поскольку $a^y$ строго возрастает. Если граница — квадратный корень, неотрицательные величины можно сравнивать по их квадратам.Корень $1/2$ меньше левой границы $\sqrt3$, потому что обе величины неотрицательны, а:
$$
(1/2)^2=\frac14<3=(\sqrt3)^2.
$$
Для корня 2 левая граница меньше него, а правая — больше:
$$
(\sqrt3)^2=3<4=2^2;\quad2^2=4<5;\quad\sqrt3<2<\log_2 5.
$$
Поэтому на заданном отрезке лежит только:
$$
x=2.
$$