а) Решите уравнение
${27}^{x} -4\cdot {3}^{x + 2} +{3}^{5 - x} =0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[{\log }_{7}4 ; {\log }_{7}16]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $1$, $\frac{3}{2}$; б) $1$.
Решение
а) Уравнение определено при всех действительных $x$, поскольку основания степеней положительны. Здесь основания $27$ и $3$ связаны: $27=3^3$. Это позволяет заменить несколько разных степеней одной переменной.Сначала вычислим нужные целые степени основания последовательным умножением:
$$
3^2=3\cdot3=9;\quad3^3=9\cdot3=27;\quad3^4=27\cdot3=81;\quad3^5=81\cdot3=243.
$$
Положим $t=3^x>0$. По правилам степеней:
$$
27^x=(3^3)^x=(3^x)^3=t^3;\qquad3^{x+2}=3^x\cdot3^{2}=9t;
$$
Степень с разностью показателей — частное степеней:
$$
3^{5-x}=\frac{3^5}{3^x}=\frac{243}t.
$$
Подставим замену и посчитаем коэффициент среднего слагаемого:
$$
t^3-4\cdot9t+\frac{243}t=0;\qquad t^3-36t+\frac{243}t=0.
$$
Умножаем на $t$. Он строго положителен и не равен нулю, поэтому это равносильное преобразование:
$$
t^4-36t^2+243=0.
$$
В уравнении есть только $t^4=(t^2)^2$ и $t^2$, поэтому вводим ещё одну переменную $u=t^2>0$:
$$
u^2-36u+243=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $u$. Его коэффициенты $A=1$, $B=-36$, $C=243$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-36)^2-4\cdot(1)\cdot(243)=1296-972=324.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{324}=18,\qquad 18^2=18\cdot18=324.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
u_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{36+18}2=\frac{54}2=27;
$$
$$
u_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{36-18}2=\frac{18}2=9.
$$
Оба корня положительны, поэтому допустимы для $u$. Вернёмся сразу к $x$: по определению $u=t^2=(3^x)^2=3^{2x}$. Это позволяет не вводить лишние отрицательные значения $t$, ведь $t$ изначально положительно.Если $u=27$, запишем это число степенью того же основания. Равенство показателей следует из строгого возрастания функции $3^y$:
$$
3^{2x}=27=3^{3};\quad2x=3;\quad x=\frac{3}2=\frac{3}{2}.
$$
Если $u=9$, запишем это число степенью того же основания. Равенство показателей следует из строгого возрастания функции $3^y$:
$$
3^{2x}=9=3^{2};\quad2x=2;\quad x=\frac{2}2=1.
$$
Проверим оба значения именно в исходном уравнении:Для $x=1$:
$$
27^1-4\cdot3^3+3^4=27-4\cdot27+81=27-108+81=0.
$$
Для $x=3/2$ используем $3^{m+1/2}=3^m\sqrt3$:
$$
27^{3/2}=3^{9/2}=81\sqrt3;\quad3^{7/2}=27\sqrt3;\quad81\sqrt3-4\cdot27\sqrt3+27\sqrt3=(81-108+27)\sqrt3=0.
$$
Ответ пункта а):
$$
x=1\quad\text{или}\quad x=\frac{3}{2}.
$$
б) Сравним каждый найденный корень с границами. Для логарифма с основанием больше 1 сохраняется порядок: $\log_a b\le x\le\log_a c$ равносильно $b\le a^x\le c$, поскольку $a^y$ строго возрастает. Если граница — квадратный корень, неотрицательные величины можно сравнивать по их квадратам.Для корня 1 сравним степень с числами под логарифмами:
$$
4<7^1=7<16;\quad\log_7 4<1<\log_7 16.
$$
Для $3/2$ верхняя граница уже превышена:
$$
7^{3/2}=\sqrt{7^3}=\sqrt{343};\quad7^2=49;\quad7^3=49\cdot7=343;\quad16^2=256<343;\quad7^{3/2}>16;\quad\frac32>\log_7 16.
$$
Поэтому на заданном отрезке лежит только:
$$
x=1.
$$