а) Решите уравнение
${8}^{x} -9\cdot {2}^{x + 1} +{2}^{5 - x} =0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[{\log }_{5}2 ; {\log }_{5}20]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $\frac{1}{2}$, $2$; б) $\frac{1}{2}$.
Решение
а) Уравнение определено при всех действительных $x$, поскольку основания степеней положительны. Здесь основания $8$ и $2$ связаны: $8=2^3$. Это позволяет заменить несколько разных степеней одной переменной.Сначала вычислим нужные целые степени основания последовательным умножением:
$$
2^2=2\cdot2=4;\quad2^3=4\cdot2=8;\quad2^4=8\cdot2=16;\quad2^5=16\cdot2=32.
$$
Положим $t=2^x>0$. По правилам степеней:
$$
8^x=(2^3)^x=(2^x)^3=t^3;\qquad2^{x+1}=2^x\cdot2^{1}=2t;
$$
Степень с разностью показателей — частное степеней:
$$
2^{5-x}=\frac{2^5}{2^x}=\frac{32}t.
$$
Подставим замену и посчитаем коэффициент среднего слагаемого:
$$
t^3-9\cdot2t+\frac{32}t=0;\qquad t^3-18t+\frac{32}t=0.
$$
Умножаем на $t$. Он строго положителен и не равен нулю, поэтому это равносильное преобразование:
$$
t^4-18t^2+32=0.
$$
В уравнении есть только $t^4=(t^2)^2$ и $t^2$, поэтому вводим ещё одну переменную $u=t^2>0$:
$$
u^2-18u+32=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $u$. Его коэффициенты $A=1$, $B=-18$, $C=32$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-18)^2-4\cdot(1)\cdot(32)=324-128=196.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{196}=14,\qquad 14^2=14\cdot14=196.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
u_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{18+14}2=\frac{32}2=16;
$$
$$
u_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{18-14}2=\frac{4}2=2.
$$
Оба корня положительны, поэтому допустимы для $u$. Вернёмся сразу к $x$: по определению $u=t^2=(2^x)^2=2^{2x}$. Это позволяет не вводить лишние отрицательные значения $t$, ведь $t$ изначально положительно.Если $u=16$, запишем это число степенью того же основания. Равенство показателей следует из строгого возрастания функции $2^y$:
$$
2^{2x}=16=2^{4};\quad2x=4;\quad x=\frac{4}2=2.
$$
Если $u=2$, запишем это число степенью того же основания. Равенство показателей следует из строгого возрастания функции $2^y$:
$$
2^{2x}=2=2^{1};\quad2x=1;\quad x=\frac{1}2=\frac{1}{2}.
$$
Проверим оба значения именно в исходном уравнении:Для $x=1/2$:
$$
8^{1/2}=2^{3/2}=2\sqrt2;\quad2^{3/2}=2\sqrt2;\quad2^{9/2}=16\sqrt2;\quad2\sqrt2-9\cdot2\sqrt2+16\sqrt2=(2-18+16)\sqrt2=0.
$$
Для $x=2$:
$$
8^2-9\cdot2^3+2^3=64-9\cdot8+8=64-72+8=0.
$$
Ответ пункта а):
$$
x=\frac{1}{2}\quad\text{или}\quad x=2.
$$
б) Сравним каждый найденный корень с границами. Для логарифма с основанием больше 1 сохраняется порядок: $\log_a b\le x\le\log_a c$ равносильно $b\le a^x\le c$, поскольку $a^y$ строго возрастает. Если граница — квадратный корень, неотрицательные величины можно сравнивать по их квадратам.Для $x=1/2$ степень $5^x=\sqrt5$ находится между 2 и 20. Докажем это сравнением квадратов:
$$
2^2=4<5<400=20^2;\quad2<\sqrt5<20;\quad\log_5 2<\frac12<\log_5 20.
$$
Для $x=2$ степень превышает верхнее число:
$$
5^2=25>20;\quad2>\log_5 20.
$$
Поэтому на заданном отрезке лежит только:
$$
x=\frac{1}{2}.
$$