а) Решите уравнение
${8}^{x} -3\cdot {2}^{x + 2} +{2}^{5 - x} =0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[{\log }_{4}5 ; \sqrt{3}]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $1$, $\frac{3}{2}$; б) $\frac{3}{2}$.
Решение
а) Уравнение определено при всех действительных $x$, поскольку основания степеней положительны. Здесь основания $8$ и $2$ связаны: $8=2^3$. Это позволяет заменить несколько разных степеней одной переменной.Сначала вычислим нужные целые степени основания последовательным умножением:
$$
2^2=2\cdot2=4;\quad2^3=4\cdot2=8;\quad2^4=8\cdot2=16;\quad2^5=16\cdot2=32.
$$
Положим $t=2^x>0$. По правилам степеней:
$$
8^x=(2^3)^x=(2^x)^3=t^3;\qquad2^{x+2}=2^x\cdot2^{2}=4t;
$$
Степень с разностью показателей — частное степеней:
$$
2^{5-x}=\frac{2^5}{2^x}=\frac{32}t.
$$
Подставим замену и посчитаем коэффициент среднего слагаемого:
$$
t^3-3\cdot4t+\frac{32}t=0;\qquad t^3-12t+\frac{32}t=0.
$$
Умножаем на $t$. Он строго положителен и не равен нулю, поэтому это равносильное преобразование:
$$
t^4-12t^2+32=0.
$$
В уравнении есть только $t^4=(t^2)^2$ и $t^2$, поэтому вводим ещё одну переменную $u=t^2>0$:
$$
u^2-12u+32=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $u$. Его коэффициенты $A=1$, $B=-12$, $C=32$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-12)^2-4\cdot(1)\cdot(32)=144-128=16.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{16}=4,\qquad 4^2=4\cdot4=16.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
u_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{12+4}2=\frac{16}2=8;
$$
$$
u_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{12-4}2=\frac{8}2=4.
$$
Оба корня положительны, поэтому допустимы для $u$. Вернёмся сразу к $x$: по определению $u=t^2=(2^x)^2=2^{2x}$. Это позволяет не вводить лишние отрицательные значения $t$, ведь $t$ изначально положительно.Если $u=8$, запишем это число степенью того же основания. Равенство показателей следует из строгого возрастания функции $2^y$:
$$
2^{2x}=8=2^{3};\quad2x=3;\quad x=\frac{3}2=\frac{3}{2}.
$$
Если $u=4$, запишем это число степенью того же основания. Равенство показателей следует из строгого возрастания функции $2^y$:
$$
2^{2x}=4=2^{2};\quad2x=2;\quad x=\frac{2}2=1.
$$
Проверим оба значения именно в исходном уравнении:Для $x=1$:
$$
8^1-3\cdot2^3+2^4=8-3\cdot8+16=8-24+16=0.
$$
Для $x=3/2$:
$$
8^{3/2}=2^{9/2}=16\sqrt2;\quad2^{7/2}=8\sqrt2;\quad16\sqrt2-3\cdot8\sqrt2+8\sqrt2=(16-24+8)\sqrt2=0.
$$
Ответ пункта а):
$$
x=1\quad\text{или}\quad x=\frac{3}{2}.
$$
б) Сравним каждый найденный корень с границами. Для логарифма с основанием больше 1 сохраняется порядок: $\log_a b\le x\le\log_a c$ равносильно $b\le a^x\le c$, поскольку $a^y$ строго возрастает. Если граница — квадратный корень, неотрицательные величины можно сравнивать по их квадратам.Корень 1 левее отрезка, поскольку:
$$
4^1=4<5;\quad1<\log_4 5.
$$
Для $3/2$ проверим левую границу:
$$
4^{3/2}=\sqrt{4^3}=\sqrt{64}=8>5;\quad\frac32>\log_4 5.
$$
Правую границу проверяем квадратами положительных чисел:
$$
\left(\frac32\right)^2=\frac94<\frac{12}{4}=3=(\sqrt3)^2;\quad\frac32<\sqrt3.
$$
Поэтому на заданном отрезке лежит только:
$$
x=\frac{3}{2}.
$$